Funktionentheorie/Wesentliche Singularitäten/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in U$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass ${}f$ im Punkt ${}a$ eine wesentliche Singularität besitzt, wenn ${}a$ weder eine hebbare Singularität noch ein Pol von ${}f$ ist.

Dies bedeutet, dass für ${}z\rightarrow a$ der Betrag ${}\vert {f(z)}\vert$ in ${}a$ weder einen Limes besitzt noch gegen ${}+\infty$ bestimmt divergiert. Die beiden Standardbeispiele sind die folgenden.

Beispiel

Die Funktion

${}f(z)=\exp \left(z^{-1}\right)\,$

besitzt im Nullpunkt eine wesentliche Singularität. Für jedes feste ${}n\in \mathbb {N}$ ist ${}z^{n}\exp \left(z^{-1}\right)$ für ${}z\rightarrow 0$ nicht beschränkt, da (mit ${}w=z^{-1}$) ja ${}{\frac {\exp w}{w^{n}}}\rightarrow +\infty$ für reelles ${}w\rightarrow +\infty$ gilt (die Exponentialfunktion wächst schneller als jedes Polynom, siehe Aufgabe).

Beispiel

Die Funktion

${}f(z)=\sin \left(z^{-1}\right)\,$

besitzt im Nullpunkt eine wesentliche Singularität. Die Funktion ${}\sin \left(z^{-1}\right)$ ist zwar auf ${}\mathbb {R} \setminus \{0\}$ beschränkt und die reelle Funktion ${}z\sin \left(z^{-1}\right)$ besitzt eine stetige Fortsetzung nach ${}\mathbb {R}$, doch geht es um das Verhalten der Betragsfunktion über ${}{\mathbb {C} }$. Mit der Beschreibung

${}\sin z={\frac {e^{{\mathrm {i} }z}-e^{-{\mathrm {i} }z}}{2{\mathrm {i} }}}\,$

gilt

${}\sin \left({\frac {1}{z}}\right)={\frac {e^{\frac {\mathrm {i} }{z}}-e^{-{\frac {\mathrm {i} }{z}}}}{2{\mathrm {i} }}}\,.$

Für Argumente ${}z={\mathrm {i} }r$ mit ${}r$ reell ist

${}\sin \left({\frac {1}{{\mathrm {i} }r}}\right)={\frac {e^{\frac {\mathrm {i} }{{\mathrm {i} }r}}-e^{-{\frac {\mathrm {i} }{{\mathrm {i} }r}}}}{2{\mathrm {i} }}}={\frac {e^{\frac {1}{r}}-e^{-{\frac {1}{r}}}}{2{\mathrm {i} }}}\,$

und dabei geht für ${}r>0$, ${}r\rightarrow 0$, der rechte Summand im Zähler gegen ${}0$ und der linke Summand gegen ${}+\infty$.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}f$ besitzt in ${}a$ eine wesentliche Singularität.
2. In der Laurent-Reihe zu ${}f$ in ${}a$ gibt es unendlich viele Koeffizienten zu negativen Indizes, die nicht gleich ${}0$ sind.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt.

$\Box$

Eine wesentliche Singularität ist nach Definition eine, in der der Betrag der Funktion keinen Limes in ${}\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ besitzt. Darüber hinaus kann man über das Verhalten der Werte der Funktion selbst auf einer punktierten Umgebung eine sehr viel stärkere Aussage machen, dies ist der Inhalt des Satzes von Casorati-Weierstrass.

Satz

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge,

${}a\in U$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ besitzt in ${}a$ eine wesentliche Singularität.
2. Für jede offene Kreisscheibenumgebung ${}U{\left(a,r\right)}$ ist das Bild ${}f{\left(U{\left(a,r\right)}\setminus \{a\}\right)}$ dicht in ${}{\mathbb {C} }$.

Beweis

Es liege eine wesentliche Singularität vor, wobei wir ${}a=0$ annehmen können. Nehmen wir an, dass es eine Ballumgebung ${}U{\left(0,r\right)}$ derart gibt, dass das Bild der punktierten Ballumgebung nicht dicht ist. Dann gibt es einen Punkt ${}b\in {\mathbb {C} }$ und eine Ballumgebung ${}U{\left(b,s\right)}$, die disjunkt zum Bild ist. Wir betrachten die holomorphe Funktion

$h\colon U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto h(z)={\frac {1}{f(z)-b}},$

die ja wohldefiniert ist, da ${}\vert {f(z)-b}\vert \geq s$ gilt. Ferner folgt daraus, dass ${}\vert {h(z)}\vert \leq {\frac {1}{s}}$ auf der offenen Menge ${}U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}$ ist. Daher ist aber nach Fakt ${}h$ nach ${}0$ holomorph fortsetzbar. Eine Umstellung der definierenden Gleichung für ${}h$ ergibt

${}f(z)={\frac {1}{h(z)}}+b\,,$

woraus folgt, dass ${}f$ in ${}0$ eine hebbare Singularität oder einen Pol besitzt, jedenfalls keine wesentliche Singularität.

Von (2) nach (1) ist im hebbaren Fall klar und ergibt sich im Fall eines Poles aus Fakt.

$\Box$