Zu einer ganzen Zahl besteht aus allen Vielfachen von . Zu zwei Zahlen besteht somit der Durchschnitt aus allen Zahlen, die sowohl von als auch von Vielfache sind, also aus allen gemeinsamen Vielfachen von
und .
In der Tat gilt die folgende Aussage.
Nach
Aufgabe
ist der Durchschnitt der Untergruppen wieder eine Untergruppe von . Nach
Fakt
gibt es ein eindeutig bestimmtes
mit
Wegen
für alle ist ein Vielfaches von jedem , also ein gemeinsames Vielfaches der . Für jedes gemeinsame Vielfache dieser Elemente gilt
Die Zahl besitzt also die Eigenschaft, dass jedes gemeinsame Vielfache der Elemente ein Vielfaches von ist. Daher ist das kleinste gemeinsame Vielfache.
Für ganze Zahlen setzen wird den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache stets positiv an, um Eindeutigkeit zu erzielen. Grundsätzlich hat jeweils das Negative dazu die gleichen Eigenschaften.
Zunächst ist natürlich das Produkt ein gemeinsames Vielfaches von und . Es sei also irgendein gemeinsames Vielfaches, also
und .
Nach
Fakt
gibt es im teilerfremden Fall Zahlen
mit
.
Daher ist
ein Vielfaches von .
Die Existenz von und ist klar. Hätten
und
einen gemeinsamen Teiler
,
so ergäbe sich sofort der Widerspruch, dass ein größerer gemeinsamer Teiler von
und
wäre.
Die rechte Seite ist offenbar ein gemeinsames Vielfaches von
und .
Es sei ein Vielfaches der linken Seite, also ein gemeinsames Vielfaches von
und .
Dann kann man
und
schreiben. Damit ist
und somit ist
(bei
;
bei
ist die Behauptung direkt klar)
ein gemeinsames Vielfaches von
und .
Also ist
ein Vielfaches der rechten Seite.
Wir schreiben unter Verwendung der ersten Teile
Der Teil (4) der vorstehenden Aussage erlaubt es, das kleinste gemeinsame Vielfache zu zwei Zahlen algorithmisch dadurch zu bestimmen, dass man ihren größten gemeinsamen Teiler mit Hilfe des euklidischen Algorithmus bestimmt und das Produkt durch diesen teilt.