Garben/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Unter einer Garbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ versteht man eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ , die die folgenden Eigenschaften erfüllt.

Zu jeder offenen Überdeckung ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Elementen ${}s,t\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ mit ${}\rho _{U,U_{i}}(s)=\rho _{U,U_{i}}(t)$ für alle ${}i\in I$ gilt ${}s=t$ .
Zu jeder offenen Überdeckung ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Elementen ${}s_{i}\in {\mathcal {F}}{\left(U_{i}\right)}$ mit ${}\rho _{U_{i},U_{i}\cap U_{j}}{\left(s_{i}\right)}=\rho _{U_{j},U_{i}\cap U_{j}}{\left(s_{j}\right)}$ für alle ${}i,j\in I$ gibt es ein ${}s\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ mit ${}s_{i}=\rho _{U,U_{i}}(s)$ für alle ${}i\in I$ .

Diese Eigenschaften nennt man die Serreschen Bedingungen. Die erste fordert, dass man die Übereinstimmung von Schnitten lokal auf einer offenen Überdeckung überprüfen kann, die zweite fordert, dass zusammenpassende lokale Schnitte von einem globalen Schnitt herkommen. Für die leere Menge ist ${}{\mathcal {F}}{\left(\emptyset \right)}$ einelementig, was mengentheoretisch aus den Eigenschaften folgt, wenn man die Überdeckung der leeren Menge mit der leeren Indexmenge betrachtet. Stellvertretend für viele ähnliche Beispiele zeigen wir, dass die Prägarbe der Schnitte zu ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Garbe auf ${}X$ ist.

Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an, d.h. es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und es sei

p\colon Y\longrightarrow X

eine fixierte stetige Abbildung, und es sei

U\mapsto S(U,Y)={\left\{s:U\rightarrow p^{-1}(U)\mid s{\text{ stetiger Schnitt zu }}p\right\}}

die Prägarbe der stetigen Schnitte in ${}Y$ . Dies ist eine Garbe. Die erste Serresche Bedingung ist erfüllt, da zwei Schnitte übereinstimmen, wenn sie in jedem Punkt ${}P\in U$ den gleichen Wert haben, was bei einer offenen Überdeckung lokal getestet werden kann. Die zweite Serresche Bedingung ist erfüllt, da man zu einer Familie von stetigen verträglichen Schnitten

s_{i}\colon U_{i}\longrightarrow Y{|}_{U_{i}}

direkt einen Schnitt

s\colon U\longrightarrow Y{|}_{U}

definieren kann, der diese simultan fortsetzt. Die Stetigkeit folgt, da diese lokal getestet werden kann.

Beispiel

Zu einer topologischen Gruppe ${}G$ und einem topologischen Raum ${}X$ ist durch ${}U\mapsto C^{0}(U,G)$ eine Garbe gegeben, die Garbe der stetigen Abbildungen mit Werten in ${}G$ . Es handelt sich um eine Garbe von Gruppen. Die Garbeneigenschaften beruhen darauf, dass die Gleichheit von stetigen Abbildungen punktweise getestet werden kann und dass sich stetige Abbildungen, die auf offenen Mengen definiert sind und auf den Durchschnitten übereinstimmen, zu einer globalen stetigen Abbildung fortsetzen.

Lemma

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine Garbe auf einem topologischen Raum ${}X$ . Es seien Schnitte ${}s,t\in {\mathcal {F}}{\left(X\right)}$ gegeben, die ${}s_{P}=t_{P}$ in den Halmen ${}{\mathcal {F}}_{P}$ für alle Punkte ${}P\in X$ erfüllen.