Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Weierstraßsche p Funktion/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.

Dann nimmt die Weierstraßsche ${}\wp$-Funktion zu ${}\Gamma$ auf der halboffenen Grundmasche jeden Wert (mit Vielfachheit gezählt) zweifach an.

Beweis

Es sei ${}w\in {\mathbb {C} }$, wir betrachten die Funktion ${}\wp (z)-w$, es geht um die Nullstellen dieser Funktion. Da es auf einer verschobenen kompakten Masche

${}{\mathfrak {N}}=P+{\mathfrak {M}}\,$

nur endlich viele Nullstellen gibt, kann man ${}P$ so wählen, dass es auf den Rand weder eine Nullstelle noch einen Pol gibt. Es gibt dann in ${}{\mathfrak {N}}$ nach Fakt genau eine Polstelle mit der Ordnung ${}-2$. Nach Fakt muss es zwei Nullstellen mit Ordnung ${}1$ oder eine Nullstelle mit der Ordnung ${}2$ geben.

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Lemma

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und sei ${}f\neq 0$ eine gerade elliptische Funktion. Es sei ${}w\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt mit ${}2w\in \Gamma$.

Dann ist die Ordnung von ${}f$ in ${}w$ gerade.

Beweis

Die Bedingung ${}2w\in \Gamma$ ist zu ${}w=-w\mod \Gamma$ äquivalent. Für jede elliptische Funktion ${}g$ gilt daher ${}g(w)=g(-w)$. Es sei ${}f$ eine gerade elliptische Funktion ${}\neq 0$. Durch Übergang zu ${}{\frac {1}{f}}$ können wir davon ausgehen, dass ${}f$ in ${}w$ holomorph ist. Aus ${}f(z)=f(-z)$ folgt mit Aufgabe, dass die Ableitungen von ${}f$ abwechselnd gerade bzw. ungerade elliptische Funktionen sind. Für ${}k$ ungerade hat man dann einerseits ${}f^{(k)}(w)=f^{(k)}(-w)$ und andererseits ${}f^{(k)}(w)=-f^{(k)}(-w)$, also ${}f^{(k)}(w)=0$. Also ist die Ordnung in einem solchen Punkt gerade.

$\Box$

Für die Weierstraßsche Funktion ${}\wp$ bedeutet dies, dass die Ordnung in den Punkten ${}w$ mit ${}2w\in \Gamma$, ${}w\notin \Gamma$, gleich ${}2$ ist, und in allen anderen Punkten gleich ${}1$.

Lemma

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.

Dann wird der Körper der elliptischen Funktionen von ${}\wp$ und ${}\wp '$ erzeugt, d.h. jede elliptische Funktion kann man als eine rationale Funktion in ${}\wp$ und ${}\wp '$ schreiben.

Beweis

Jede elliptische Funktion kann man als eine Summe einer geraden und einer ungeraden elliptischen Funktion schreiben, siehe Aufgabe. Eine ungerade elliptische Funktion kann man mit ${}\wp '$ multiplizieren und erhält eine gerade elliptische Funktion. Es genügt also zu zeigen, dass jede gerade elliptische Funktion ${}f\neq 0$ eine rationale Funktion in ${}\wp$ ist.

Es sei ${}\Gamma =\langle u,v\rangle$, ${}{\mathfrak {M}}={\left\{ru+sv\mid 0\leq r,s<1\right\}}$ die zugehörige Fundamentalmasche und ${}{\mathfrak {N}}={\left\{ru+sv\mid 0\leq r<1,\,0\leq s<{\frac {1}{2}}\right\}}$. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ die Punkte ${}\neq 0$ in ${}{\mathfrak {N}}$, in denen eine Pol- oder eine Nullstelle von ${}f$ vorliegt. Wir betrachten die elliptische Funktion

${}g(z)=\prod _{i}(\wp (z)-\wp (a_{i}))^{r_{i}}\,,$

wobei ${}r_{i}$ die Ordnung von ${}f$ in ${}a_{i}$ ist, es sei denn, dass ${}2a_{i}\in \Gamma$ ist, in diesem Fall ist ${}r_{i}$ die Hälfte der nach Fakt geraden Ordnung von ${}f$ in ${}a_{i}$. Diese Funktion besitzt überall außer eventuell im Nullpunkt die gleichen Ordnungen wie ${}f$, da ${}\wp (z)-\wp (a)$ in ${}a$ die Ordnung ${}1$ besitzt, mit den Ausnahmen für die Punkte ${}a$ mit ${}2a\in \Gamma$, wo die Ordnung ${}2$ ist. Aus Fakt folgt dann, dass auch im Nullpunkt die Ordnungen gleich sind. Daher ist ${}{\frac {f}{g}}$ holomorph und somit nach Fakt konstant. Daher ist ${}f\in {\mathbb {C} }(\wp )$, da ${}g$ nach Konstruktion dazugehört.

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