Glatte projektive Kurve/Kohomologisches Geschlecht/Differentialformen/Serre-Dualität/Bemerkung

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Das kohomologisch definierte Geschlecht einer glatten projektiven Kurve über stimmt mit der Vektorraumdimension der kanonischen Garbe überein. Die kanonische Garbe ist im eindimensionalen Fall einfach die Garbe der Kähler-Differentiale , also die Kotangentialgarbe, also die duale Garbe zur Tangentialgarbe. Es gilt also

Im ebenen Fall ergibt sich dies direkt: Wegen Fakt ist das Geschlecht gleich . Aufgrund von Fakt ist und nach Aufgabe ist die Dimension von ebenfalls gleich .

Im allgemeinen Fall gilt die Serre-Dualität, die unter Anderem besagt, dass für eine lokal freie Garbe auf einer glatten projektiven Kurve die Kohomologiegruppe ein eindimensionaler Vektorraum über ist und dass die natürliche Abbildung

eine vollständige Dualität liefert. D.h. die Vektorräume und sind dual zueinander und haben insbesondere die gleiche Dimension. Für die Strukturgarbe ergibt sich wegen (nach Fakt) die Dualität zwischen und .