Glatte projektive Kurve/Kohomologisches Geschlecht/Differentialformen/Serre-Dualität/Bemerkung

Das kohomologisch definierte Geschlecht einer glatten projektiven Kurve über $K$ stimmt mit der Vektorraumdimension der kanonischen Garbe überein. Die kanonische Garbe ist im eindimensionalen Fall einfach die Garbe der Kähler-Differentiale ${\mathrm{\Omega }}_{C/K}$, also die Kotangentialgarbe, also die duale Garbe zur Tangentialgarbe. Es gilt also

${\dim }_K\left(H^1(C,{𝒪}_C)\right)={\dim }_K\left(\mathrm{\Gamma }(C,{\omega }_C)\right).$

Im ebenen Fall ergibt sich dies direkt: Wegen Fakt ist das Geschlecht gleich $\frac{(d-1)(d-2)}{2}$. Aufgrund von Fakt ist  ${\omega }_C\cong {𝒪}_C(d-3)$  und nach Aufgabe ist die Dimension von $\mathrm{\Gamma }(C,{𝒪}_C(d-3))$ ebenfalls gleich $\frac{(d-1)(d-2)}{2}$.

Im allgemeinen Fall gilt die Serre-Dualität, die unter Anderem besagt, dass für eine lokal freie Garbe $ℱ$ auf einer glatten projektiven Kurve $C$ die Kohomologiegruppe $H^1(C,{\omega }_C)$ ein eindimensionaler Vektorraum über $K$ ist und dass die natürliche Abbildung

$\mathrm{Hom}(ℱ,{\omega }_C)\times H^1(C,ℱ)⟶H^1(C,{\omega }_C)\cong K$

eine vollständige Dualität liefert. D.h. die Vektorräume $\mathrm{Hom}(ℱ,{\omega }_C)$ und $H^1(C,ℱ)$ sind dual zueinander und haben insbesondere die gleiche Dimension. Für die Strukturgarbe  $ℱ={𝒪}_C$  ergibt sich wegen  $\mathrm{Hom}({𝒪}_C,{\omega }_C)=\mathrm{\Gamma }(C,{\omega }_C)$  (nach Fakt) die Dualität zwischen $H^1(C,{𝒪}_C)$ und $\mathrm{\Gamma }(C,{\omega }_C)$.