Glatte projektive Kurve/Kohomologisches Geschlecht/Differentialformen/Serre-Dualität/Bemerkung

Das kohomologisch definierte Geschlecht einer glatten projektiven Kurve über ${}K$ stimmt mit der Vektorraumdimension der kanonischen Garbe überein. Die kanonische Garbe ist im eindimensionalen Fall einfach die Garbe der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{C{|}K}$, also die Kotangentialgarbe, also die duale Garbe zur Tangentialgarbe. Es gilt also

${}\dim _{K}{\left(H^{1}{\left(C,{\mathcal {O}}_{C}\right)}\right)}=\dim _{K}{\left(\Gamma {\left(C,\omega _{C}\right)}\right)}\,.$

Im ebenen Fall ergibt sich dies direkt: Wegen Fakt ist das Geschlecht gleich ${}{\frac {(d-1)(d-2)}{2}}$. Aufgrund von Fakt ist ${}\omega _{C}\cong {\mathcal {O}}_{C}(d-3)$ und nach Aufgabe ist die Dimension von ${}\Gamma {\left(C,{\mathcal {O}}_{C}(d-3)\right)}$ ebenfalls gleich ${}{\frac {(d-1)(d-2)}{2}}$.

Im allgemeinen Fall gilt die Serre-Dualität, die unter Anderem besagt, dass für eine lokal freie Garbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einer glatten projektiven Kurve ${}C$ die Kohomologiegruppe ${}H^{1}(C,\omega _{C})$ ein eindimensionaler Vektorraum über ${}K$ ist und dass die natürliche Abbildung

$\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {F}},\omega _{C}\right)}\times H^{1}(C,{\mathcal {F}})\longrightarrow H^{1}(C,\omega _{C})\cong K$

eine vollständige Dualität liefert. D.h. die Vektorräume ${}\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {F}},\omega _{C}\right)}$ und ${}H^{1}(C,{\mathcal {F}})$ sind dual zueinander und haben insbesondere die gleiche Dimension. Für die Strukturgarbe ${}{\mathcal {F}}={\mathcal {O}}_{C}$ ergibt sich wegen ${}\operatorname {Hom} {\left({{\mathcal {\mathcal {O}}}_{C}},\omega _{C}\right)}=\Gamma {\left(C,\omega _{C}\right)}$ (nach Fakt) die Dualität zwischen ${}H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})$ und ${}\Gamma {\left(C,\omega _{C}\right)}$.