Graduierter Ring/Z/Kegelabbildung/Schema/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter Ring. Dann nennt man zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ das von allen homogenen Elementen aus ${}{\mathfrak {a}}$ erzeugte Ideal die Homogenisierung von ${}{\mathfrak {a}}$. Sie wird mit ${}{\mathfrak {a}}^{h}$ bezeichnet.

Die Homogenisierung ist wieder ein Ideal, das im Ausgangsideal enthalten ist. Zu einem Primideal ist die Homogenisierung ein Primideal.

Definition

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter Ring. Dann versteht man unter der Kegelabbildung den Schemamorphismus

$D(R_{+})\longrightarrow \operatorname {Proj} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto {\mathfrak {p}}^{h},$

der auf den offenen Mengen zu homogenen Elementen ${}f\in R_{+}$ durch die Spektrumsabbildung zu ${}{\left(R_{f}\right)}_{0}\rightarrow R_{f}$ gegeben ist.

Satz

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter Ring.

Dann ist die Kegelabbildung in der Tat ein Schemamorphismus.

Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert, da die Homogenisierung eines Primideals wieder ein Primideal ist. Zu einem homogenen ${}f\in R_{+}$ und einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ ist ${}f\in {\mathfrak {p}}$ genau dann, wenn ${}f\in {\mathfrak {p}}^{h}$ ist, daher ist das Urbild von ${}D_{+}(f)$ gleich ${}D(f)$ und die Abbildung ist stetig. Das Diagramm von Abbildungen

${\begin{matrix}D(f)&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&D_{+}(f)&\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Spek} {\left(R_{f}\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Spek} {\left({\left(R_{f}\right)}_{0}\right)}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

kommutiert. Dabei steht oben die eingeschränkte Kegelabbildung, unten die natürliche Spektrumsabbildung, links die Identifizierung aus Fakt und rechts die Identifizierung aus Fakt. Um die Kommutativität nachzuweisen, ist für ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}\in D(f)$ die Gleichheit

${}{\mathfrak {p}}^{h}\cap (R_{f})_{0}={\mathfrak {p}}\cap (R_{f})_{0}\,$

zu zeigen, wobei die Primideale in ${}R_{f}$ aufzufassen sind. Die Gleichheit beruht auf den Argumenten zu Fakt. Dadurch ist der Morphismus schematheoretisch auf ${}D(f)$ festgelegt. Die Morphismen ${}\operatorname {Spek} {\left(R_{f}\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left({\left(R_{f}\right)}_{0}\right)}$ zu verschiedenen ${}f$ sind miteinander kompatibel und legen einen globalen Schemamorphismus fest.

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Beispiel

Zum Polynomring ${}K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ in ${}n+1$ Variablen mit der Standardgraduierung über einem Körper ${}K$ ist die Kegelabbildung gleich

${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\supset D(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n})\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto {\mathfrak {p}}^{h}.$

Auf den ${}K$-Punkten ist diese Abbildung einfach durch

$K^{n+1}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{}^{n}(K),\,\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$

geben, die einem Punkt ${}\neq 0$ die durch diesen Punkt und den Nullpunkt bestimmte Gerade zuordnet.