Gruppentheorie/Links und Rechtsnebenklassen/Beispiele/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Wir setzen (und sagen, dass und äquivalent sind) wenn .

Dies ist in der Tat eine Äquivalenzrelation: Aus folgt, dass diese Relation reflexiv ist. Aus folgt sofort und aus und folgt .

Zwei Gruppenelemente und sind genau dann äquivalent, wenn es ein Element der Untergruppe mit gibt. In Anschluss an Beispiel kann man die Situation so interpretieren, dass die Untergruppe eine Menge an Bewegungsmöglichkeiten festlegt, und zwei Elemente genau dann äquivalent sind, wenn sie durch eine solche durch gegebene Bewegung ineinander überführt werden können.


Beispiel  

In einer (additiv geschriebenen) kommutativen Gruppe wie oder einem Vektorraum und einer Untergruppe bedeutet , dass ist bzw. dass es ein mit

gibt. Die Äquivalenzklassen sind von der Form . Bei mit einem festen besitzen die Äquivalenzklassen die Form

Die Klassen vereinigen diejenigen ganzen Zahlen, die bei Division durch den Rest oder oder u.s.w. haben. Diese Klassen bilden eine vollständige Zerlegung von .

Die Äquivalenzklassen zu einem Untervektorraum.

Wenn ein Untervektorraum ist, so haben die Äquivalenzklassen die Form für einen Vektor . Dies ist der affine Raum mit dem Aufpunkt und dem Verschiebungsraum (im Sinne von Definition). Die Äquivalenzklassen bilden eine Familie von zueinander parallelen affinen Unterräumen.



Definition  

Sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem die Teilmenge

die Linksnebenklasse von in bezüglich . Jede Teilmenge von dieser Form heißt Linksnebenklasse. Entsprechend heißt eine Menge der Form

Rechtsnebenklasse (zu ).

Die Äquivalenzklassen zu der oben definierten Äquivalenzrelation sind wegen

genau die Linksnebenklassen. Die Nebenklasse zum neutralen Element ist die Untergruppe selbst. Die Linksnebenklassen bilden somit eine disjunkte Zerlegung (eine Partition) von . Dies gilt ebenso für die Rechtsnebenklassen. Im kommutativen Fall muss man nicht zwischen Links- und Rechtsnebenklassen unterscheiden.



Lemma  

Sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Es seien zwei Elemente.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .
  7. .

Beweis  

Die Äquivalenz von und (und die von und ) folgt aus Multiplikation mit bzw. mit . Die Äquivalenz von und folgt durch Übergang zum Inversen. Aus folgt wegen . Wenn erfüllt ist, so bedeutet das mit gewissen . Damit ist und ist erfüllt. (4) und (6) sind nach Definition äquivalent. Da die Linksnebenklassen die Äquivalenzklassen sind, ergibt sich die Äquivalenz von (5) und (7).