Gruppentheorie/Links und Rechtsnebenklassen/Beispiele/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $H \subseteq G$ eine Untergruppe. Wir setzen $x \sim_{H} y$ (und sagen, dass $x$ und $y$ äquivalent sind), wenn $x^{- 1} y \in H$ .

Dies ist in der Tat eine Äquivalenzrelation: Aus $x^{- 1} x = e_{G} \in H$ folgt, dass diese Relation reflexiv ist. Aus $x^{- 1} y \in H$ folgt sofort $y^{- 1} x = (x^{- 1} y)^{- 1} \in H$ und aus $x^{- 1} y \in H$ und $y^{- 1} z \in H$ folgt $x^{- 1} z \in H$ .

Zwei Gruppenelemente $x$ und $y$ sind genau dann äquivalent, wenn es ein Element $h \in H$ der Untergruppe mit $y = x h$ gibt. In Anschluss an Beispiel kann man die Situation so interpretieren, dass die Untergruppe $H$ eine Menge an Bewegungsmöglichkeiten festlegt, und zwei Elemente genau dann äquivalent sind, wenn sie durch eine solche durch $H$ gegebene Bewegung ineinander überführt werden können.

Beispiel

In einer (additiv geschriebenen) kommutativen Gruppe wie $ℤ$ oder einem Vektorraum $V$ und einer Untergruppe $H$ bedeutet $x \sim_{H} y$ , dass $y - x \in H$ ist bzw. dass es ein $h \in H$ mit

y = x + h

gibt. Die Äquivalenzklassen sind von der Form $x + H = {x + h ∣ h \in H}$ . Bei $H = ℤ d \subseteq ℤ$ mit einem festen $d$ besitzen die Äquivalenzklassen die Form

H = ℤ d, 1 + H = {\dots, 1 - d, 1, 1 + d, 1 + 2 d, \dots}, 2 + H = {\dots, 2 - d, 2, 2 + d, 2 + 2 d, \dots}, \dots .

Die Klassen vereinigen diejenigen ganzen Zahlen, die bei Division durch $d$ den Rest $0$ oder $1$ oder $2$ usw. haben. Diese Klassen bilden eine vollständige Zerlegung von $ℤ$ .

Wenn $H = U \subseteq V$ ein Untervektorraum ist, so haben die Äquivalenzklassen die Form $v + U = {v + u ∣ u \in U}$ für einen Vektor $v \in V$ . Dies ist der affine Raum mit dem Aufpunkt $v$ und dem Verschiebungsraum $U$ (im Sinne von Definition). Die Äquivalenzklassen bilden eine Familie von zueinander parallelen affinen Unterräumen.

Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $H \subseteq G$ eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem $x \in G$ die Teilmenge

x H = {x h ∣ h \in H}

die Linksnebenklasse von $x$ in $G$ bezüglich $H$ . Jede Teilmenge von dieser Form heißt Linksnebenklasse. Entsprechend heißt eine Menge der Form

H x = {h x ∣ h \in H}

Rechtsnebenklasse (zu $x$ ).

Die Äquivalenzklassen zu der oben definierten Äquivalenzrelation sind wegen

\begin{matrix} [x] & = {y \in G ∣ x \sim y} \\ = {y \in G ∣ x^{- 1} y \in H} \\ = {y \in G ∣ es gibt h \in H mit x^{- 1} y = h} \\ = {y \in G ∣ es gibt h \in H mit y = x h} \\ = x H \end{matrix}

genau die Linksnebenklassen. Die Nebenklasse zum neutralen Element ist die Untergruppe $H$ selbst. Die Linksnebenklassen bilden somit eine disjunkte Zerlegung (eine Partition) von $G$ . Dies gilt ebenso für die Rechtsnebenklassen. Im kommutativen Fall muss man nicht zwischen Links- und Rechtsnebenklassen unterscheiden.

Lemma

Es sei $G$ eine Gruppe und $H \subseteq G$ eine Untergruppe. Es seien $x, y \in G$ Elemente.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

$x \in y H$ .

$y \in x H$ .

$y^{- 1} x \in H$ .

$x^{- 1} y \in H$ .

$x H \cap y H \neq \emptyset$ .

$x \sim_{H} y$ .

$x H = y H$ .

Beweis

Die Äquivalenz von $(1)$ und $(3)$ (und die von $(2)$ und $(4)$ ) folgt aus Multiplikation mit $y^{- 1}$ bzw. mit $y$ . Die Äquivalenz von $(3)$ und $(4)$ folgt durch Übergang zum Inversen. Aus $(1)$ folgt $(5)$ wegen $1 \in H$ . Wenn $(5)$ erfüllt ist, so bedeutet das $x h_{1} = y h_{2}$ mit gewissen $h_{1}, h_{2} \in H$ . Damit ist $x = y h_{2} h_{1}^{- 1}$ und $(1)$ ist erfüllt. (4) und (6) sind nach Definition äquivalent. Da die Linksnebenklassen die Äquivalenzklassen sind, ergibt sich die Äquivalenz von (5) und (7).

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