Homomorphiesätze/Kommutative Ringe/Gruppe bekannt/Textabschnitt

Satz

Es seien $R,S$ und $T$ kommutative Ringe, es sei $\phi :R\to S$ ein Ringhomomorphismus und $\psi :R\to T$ ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

$\mathrm{kern}\psi \subseteq \mathrm{kern}\phi$

ist.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$\tilde{\phi }:T⟶S$

derart, dass  $\phi =\tilde{\phi }\circ \psi$  ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

$\begin{array}{cccc}R& \stackrel{}{⟶}& T& \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & S& \end{array}$

ist kommutativ.

Beweis

Aufgrund von Fakt gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

$\tilde{\phi }:T⟶S,$

der die Eigenschaften erfüllt. Es ist also lediglich noch zu zeigen, dass $\tilde{\phi }$ auch die Multiplikation respektiert. Es seien dazu  $t,t^{\prime }\in T$,  und diese seien repräsentiert durch $r$ bzw. $r^{\prime }$ aus $R$. Dann wird $t{t}^{\prime }$ durch $r{r}^{\prime }$ repräsentiert und daher ist

$\tilde{\phi }(t{t}^{\prime })=\phi (r{r}^{\prime })=\phi (r)\phi (r^{\prime })=\tilde{\phi }(t)\tilde{\phi }(t^{\prime }).$

Ferner ist

$\tilde{\phi }(1)=\tilde{\phi }(\psi (1))=\phi (1)=1.$

$◻$

Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung heißt wieder induzierte Abbildung oder induzierter Homomorphismus und entsprechend heißt der Satz auch Satz vom induzierten Homomorphismus.

Korollar

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei

$\phi :R⟶S$

ein surjektiver Ringhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie von Ringen

$\tilde{\phi }:R/\mathrm{kern}\phi ⟶S.$

Beweis

Aufgrund von Fakt liegt ein natürlicher Gruppenisomorphismus vor, der wegen Fakt auch die Multiplikation respektiert, also ein Ringhomomorphismus ist.

$◻$

Satz

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei

$\phi :R⟶S$

ein Ringhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

$R\stackrel{q}{⟶}R/\mathrm{kern}\phi \stackrel{\theta }{⟶}\mathrm{bild}\phi \stackrel{\iota }{\hookrightarrow }S,$

wobei $q$ die kanonische Projektion, $\theta$ ein Ringisomorphismus und $\iota$ die kanonische Inklusion des Bildes ist.

Beweis

Dies beruht auf Fakt und Fakt.

$◻$

Es gilt also wieder:

Bild $=$ Urbild modulo Kern.