Implizite Abbildung/Untermannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}Z=\varphi ^{-1}(0)$ die Faser über ${}0\in \mathbb {R} ^{m}$, und ${}\varphi$ sei in jedem Punkt der Faser regulär.

Dann gibt es zu jedem Punkt ${}P\in Z$ eine offene Umgebung ${}P\in W\subseteq G$, offene Mengen ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und ${}V'\subseteq \mathbb {R} ^{m}$, und einen ${}C^{1}$-Diffeomorphismus

$\theta \colon W\longrightarrow V\times V'$

mit ${}\varphi \!\mid _{W}=p_{2}\circ \theta$, der eine Bijektion zwischen ${}Z\cap W$ und ${}V\times \{0\}$ induziert, und so, dass das totale Differential ${}\left(D\theta \right)_{Q}$ für jedes ${}Q\in W$ eine Bijektion zwischen ${}\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{Q}$ und ${}\mathbb {R} ^{n-m}$ stiftet.

Beweis

Diese Aussage wurde im Beweis des Satzes über implizite Abbildungen mitbewiesen. Der Zusatz ergibt sich aus

${}\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{Q}\cong \operatorname {kern} \left(Dp_{2}\right)_{\theta (Q)}=\mathbb {R} ^{n-m}\,.$

$\Box$

Für die Faser selbst ergibt sich daraus die Struktur einer Mannigfaltigkeit. Der Satz über implizite Abbildungen beschert uns also mit einer riesigen Klasse von Mannigfaltigkeiten. Es handelt sich dabei um sogenannte abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten, die wir bald, wenn wir Tangentialräume zur Verfügung haben, systematischer behandeln werden.

Satz

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}Z=\varphi ^{-1}(Q)$ die Faser über einem Punkt ${}Q\in \mathbb {R} ^{m}$. Das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv für jeden Punkt ${}P\in Z$.

Dann ist ${}Z$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n-{m}$.

Beweis

Wir setzen ${}Q=0$ Aufgrund von Fakt gibt es zu jedem Punkt ${}P\in Z$ eine offene Umgebung ${}P\in W\subseteq G$ und einen ${}C^{1}$-Diffeomorphismus

$\theta \colon W\longrightarrow V\times V'$

mit offenen Mengen ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und ${}V'\subseteq \mathbb {R} ^{m}$, so dass ${}\theta$ eine Bijektion zwischen ${}Z\cap W$ und ${}V\times \{0\}\cong V$ induziert. Die Einschränkungen dieser Diffeomorphismen auf ${}Z\cap W$ bzw. ${}V$ nehmen wir als Karten für ${}Z$. Zum Nachweis, dass dies eine differenzierbare Struktur auf ${}Z$ definiert, seien offene Umgebungen (im ${}\mathbb {R} ^{n}$) ${}W_{1}$ und ${}W_{2}$ von ${}P\in Z$ gegeben zusammen mit Diffeomorphismen

$\theta _{1}\colon W_{1}\longrightarrow V_{1}\times V_{1}'$

und

$\theta _{2}\colon W_{2}\longrightarrow V_{2}\times V_{2}'.$

Durch Übergang zu ${}W=W_{1}\cap W_{2}$ können wir annehmen, dass beide offenen Mengen gleich sind. Die Übergangsabbildung ${}\theta _{2}\circ \theta _{1}^{-1}$ ist ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus zwischen (offenen Teilmengen von) ${}V_{1}\times V_{1}'$ und ${}V_{2}\times V_{2}'$, der ${}V_{1}\times \{0\}$ in ${}V_{2}\times \{0\}$ überführt. Daher ist nach Aufgabe auch die auf diese Teilmengen eingeschränkte Übergangsabbildung ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus (zwischen offenen Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n-m}$).

$\Box$