Implizite Abbildung/Untermannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt

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Satz  

Sei offen und sei

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei die Faser über , und sei in jedem Punkt der Faser regulär.

Dann gibt es zu jedem Punkt eine offene Umgebung , offene Mengen und , und einen -Diffeomorphismus

mit , der eine Bijektion zwischen und induziert, und so, dass das totale Differential für jedes eine Bijektion zwischen und stiftet.

Beweis  

Diese Aussage wurde im Beweis des Satzes über implizite Abbildungen mitbewiesen. Der Zusatz ergibt sich aus


Für die Faser selbst ergibt sich daraus die Struktur einer Mannigfaltigkeit. Der Satz über implizite Abbildungen beschert uns also mit einer riesigen Klasse von Mannigfaltigkeiten. Es handelt sich dabei um sogenannte abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten, die wir bald, wenn wir Tangentialräume zur Verfügung haben, systematischer behandeln werden.



Satz  

Sei offen und sei

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei die Faser über einem Punkt . Das totale Differential sei surjektiv für jeden Punkt .

Dann ist eine ()-differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension .

Beweis  

Wir setzen . Aufgrund von Fakt gibt es zu jedem Punkt eine offene Umgebung und einen -Diffeomorphismus

mit offenen Mengen und , so dass eine Bijektion zwischen und induziert. Die Einschränkungen dieser Diffeomorphismen auf bzw. nehmen wir als Karten für . Zum Nachweis, dass dies eine differenzierbare Struktur auf definiert, seien offene Umgebungen (im ) und von gegeben zusammen mit Diffeomorphismen

und

Durch Übergang zu können wir annehmen, dass beide offenen Mengen gleich sind. Die Übergangsabbildung ist ein -Diffeomorphismus zwischen (offenen Teilmengen von) und , der in überführt. Daher ist nach Aufgabe auch die auf diese Teilmengen eingeschränkte Übergangsabbildung ein -Diffeomorphismus (zwischen offenen Teilmengen des ).