Isolierte Singularität/Ideal/Invertierbar/Bemerkung

Es sei ${}V$ eine affine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ mit einer isolierten Singularität im Punkt ${}P\in V$. Das offene Komplement ${}U=V\setminus \{P\}$ ist glatt, aber im Allgemeinen nicht mehr affin. Bei ${}K={\mathbb {C} }$ ist ${}U$ eine komplexe Mannigfaltigkeit, ihre Fundamentalgruppe (die man die lokale Fundamentalgruppe von ${}V$ nennt) ist ein wichtiges Maß für die Singularität. Nach Fakt und Fakt sind die lokalen Ringe ${}{\mathcal {O}}_{V,Q}$ für alle Punkte ${}Q\neq P$ faktoriell. Ein jedes Primideal der Höhe ${}1$ von ${}R$ ist daher in diesen lokalen Ringen nach Fakt ein Hauptideal. Es liegt also auf ${}U$ (aber im Allgemeinen nicht auf ${}V$) ein lokal freier Modul vom Rang ${}1$ vor. Man spricht auch von invertierbaren Moduln auf ${}U$ bzw., etwas geometrischer, von Geradenbündel auf ${}U$. Die Menge all dieser invertierbaren Moduln auf ${}U$ bilden mit der Tensorierung als Verknüpfung und dem trivialen Objekt, dem freien Modul ${}R$, als neutralem Element, eine kommutative Gruppe, die die Picardgruppe von ${}U$ heißt und die eine wichtige Invariante von ${}R$ ist. Sie ist (bei ${}R$ normal) genau dann trivial, wenn ${}R$ faktoriell ist, und ist insofern ein Maß dafür, wie weit die Singularität von der Faktorialität abweicht. Die Picardgruppe der ${}A_{n}$-Singularitäten ist beispielsweise ${}\mathbb {Z} /(n+1)$, übrigens wie die Fundamentalgruppe, siehe Fakt oder Beispiel.