Isomorphe Vektorräume/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Eine bijektive, lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt Isomorphismus.

Ein Isomorphismus von ${}V$ nach ${}V$ heißt Automorphismus.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Zwei ${}K$-Vektorräume ${}V$ und ${}W$ heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von ${}V$ nach ${}W$ gibt.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$-Vektorräume.

Dann sind ${}V$ und ${}W$ genau dann zueinander isomorph, wenn ihre Dimension übereinstimmt.

Insbesondere ist ein ${}n$-dimensionaler ${}K$-Vektorraum isomorph zum ${}K^{n}$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Bemerkung  

Eine Isomorphie zwischen einem ${}n$-dimensionalen Vektorraum ${}V$ und dem Standardraum ${}K^{n}$ ist im Wesentlichen äquivalent zur Wahl einer Basis in ${}V$. Zu einer Basis

${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}\,$

gehört die lineare Abbildung

$\Psi _{\mathfrak {v}}\colon K^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto v_{i},$

die also den Standardraum in den Vektorraum abbildet, indem sie dem ${}i$-ten Standardvektor den ${}i$-ten Basisvektor aus der gegebenen Basis zuordnet. Dies definiert nach Fakt eine eindeutige lineare Abbildung, die aufgrund von Aufgabe bijektiv ist. Es handelt sich dabei einfach um die Abbildung

$(a_{1},\ldots ,a_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}.$

Die Umkehrabbildung

$x=\Psi _{\mathfrak {v}}^{-1}\colon V\longrightarrow K^{n}$

ist ebenfalls linear und heißt die zur Basis gehörende Koordinatenabbildung. Die ${}i$-te Komponente davon, also die zusammengesetzte Abbildung

$x_{i}=p_{i}\circ x\colon V\longrightarrow K,\,v\longmapsto (\Psi _{\mathfrak {v}}^{-1}(v))_{i},$

heißt ${}i$-te Koordinatenfunktion. Sie wird mit ${}v_{i}^{*}$ bezeichnet, und gibt zu einem Vektor ${}v\in V$ in der eindeutigen Darstellung

${}v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}\,$

die Koordinate ${}\lambda _{i}$ aus. Man beachte, dass die lineare Abbildung ${}v_{i}^{*}$ von der gesamten Basis abhängt, nicht nur von dem Vektor ${}v_{i}$.

Wenn umgekehrt ein Isomorphismus

$\Psi \colon K^{n}\longrightarrow V$

gegeben ist, so sind die Bilder

$\Psi (e_{i}),i=1,\ldots ,n,$

eine Basis von ${}V$.