Isomorphe Vektorräume/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ . Eine bijektive, lineare Abbildung

φ : V ⟶ W

heißt Isomorphismus.

Ein Isomorphismus von $V$ nach $V$ heißt Automorphismus.

Definition

Es sei $K$ ein Körper. Zwei $K$ -Vektorräume $V$ und $W$ heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von $V$ nach $W$ gibt.

Satz

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$ -Vektorräume.

Dann sind $V$ und $W$ genau dann zueinander isomorph, wenn ihre Dimension übereinstimmt.

Insbesondere ist ein $n$ -dimensionaler $K$ -Vektorraum isomorph zum $K^{n}$ .

Beweis

Siehe Aufgabe.

◻

Bemerkung

Eine Isomorphie zwischen einem $n$ -dimensionalen Vektorraum $V$ und dem Standardraum $K^{n}$ ist im Wesentlichen äquivalent zur Wahl einer Basis in $V$ . Zu einer Basis

𝔳 = v_{1}, \dots, v_{n}

gehört die lineare Abbildung

Ψ_{𝔳} : K^{n} ⟶ V, e_{i} ⟼ v_{i},

die also den Standardraum in den Vektorraum abbildet, indem sie dem $i$ -ten Standardvektor den $i$ -ten Basisvektor aus der gegebenen Basis zuordnet. Dies definiert nach Fakt eine eindeutige lineare Abbildung, die aufgrund von Aufgabe bijektiv ist. Es handelt sich dabei einfach um die Abbildung

(a_{1}, \dots, a_{n}) ⟼ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} v_{i} .

Die Umkehrabbildung

x = Ψ_{𝔳}^{- 1} : V ⟶ K^{n}

ist ebenfalls linear und heißt die zur Basis gehörende Koordinatenabbildung. Die $i$ -te Komponente davon, also die zusammengesetzte Abbildung

x_{i} = p_{i} \circ x : V ⟶ K, v ⟼ (Ψ_{𝔳}^{- 1} (v))_{i},

heißt $i$ -te Koordinatenfunktion. Sie wird mit $v_{i}^{*}$ bezeichnet, und gibt zu einem Vektor $v \in V$ in der eindeutigen Darstellung

v = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} v_{i}

die Koordinate $λ_{i}$ aus. Man beachte, dass die lineare Abbildung $v_{i}^{*}$ von der gesamten Basis abhängt, nicht nur von dem Vektor $v_{i}$ .

Wenn umgekehrt ein Isomorphismus

Ψ : K^{n} ⟶ V

gegeben ist, so sind die Bilder

Ψ (e_{i}), i = 1, \dots, n,

eine Basis von $V$ .