Körpererweiterung/Diskriminante/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und seien Elemente in . Dann wird die Diskriminante von durch

definiert.

Die Produkte , , sind dabei Elemente in , von denen man jeweils die Spur nimmt, die in liegt. Man erhält also eine quadratische -Matrix über . Deren Determinante ist nach Definition die Diskriminante. Im folgenden werden wir vor allem an der Diskriminante von speziellen Basen interessiert sein.


Beispiel  

Wir betrachten eine quadratische Gleichung und (unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist) die zugehörige quadratische Körpererweiterung . Wir bestimmen die Diskriminante dieser Erweiterung zur Basis . Wir müssen also die Spuren der Elemente bestimmen. Die Matrizen dieser Elemente sind

und ihre Spuren sind und . Somit ist die Diskriminante gleich



Beispiel  

Wir betrachten die kubische Gleichung

und (unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist) die zugehörige kubische Körpererweiterung . Wir bestimmen die Diskriminante dieser Erweiterung zur Basis . Die Matrix zu ist , die Matrix zu ist , die Matrix zu ist , die Matrix zu ist . Die Diskriminante ist daher die Determinante der Matrix

also gleich

Dies ist die Zahl aus Fakt.


Bei einem Basiswechsel verhält sich die Diskriminante wie folgt.



Lemma  

Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und seien und -Basen von . Der Basiswechsel werde durch mit der Übergangsmatrix beschrieben. Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung

Beweis  

Ausgeschrieben haben wir die Beziehungen . Damit gilt

Wir schreiben und . Wegen der -Linearität der Spur gilt

Wir schreiben diese Gleichung mit den Matrizen , und als

und die Behauptung folgt dann aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Fakt.