Körpererweiterung/Galoisgruppe/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Automorphismengruppe

${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)=\operatorname {Aut} _{K}\,(L)\,$

die Galoisgruppe der Körpererweiterung.

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und es sei ${}x_{i}\in L$, ${}i\in I$, ein Erzeugendensystem (als Körper) von ${}L$ über ${}K$. Es sei ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ mit ${}\varphi (x_{i})=x_{i}$ für alle ${}i\in I$.

Dann ist ${}\varphi =\operatorname {Id}$.

Beweis

Wir zeigen, dass die Teilmenge

${}M={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=x\right\}}\,$

gleich ${}L$ ist. Da ${}\varphi$ ein ${}K$-Algebrahomomorphismus ist, ist ${}K\subseteq M$ und nach Voraussetzung ist ${}x_{i}\in M$. Mit ${}x,y\in M$ ist wegen ${}\varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)=x+y$ (und entsprechend für die Multiplikation) auch ${}x+y,xy\in M$. Ferner ist mit ${}x\in M$, ${}x\neq 0$, wegen

${}\varphi {\left(x^{-1}\right)}={\left(\varphi (x)\right)}^{-1}=x^{-1}\,$

auch ${}x^{-1}\in M$. Also ist ${}M$ ein Unterkörper, der ${}K$ und das Körpererzeugendensystem ${}x_{i}$ umfasst und daher ist ${}M=L$.

$\Box$

Unter einem ${}K$-Körperautomorphismus ${}\varphi$ muss ein Element ${}x\in L$, dass Nullstelle eines Polynoms ${}F$ aus ${}K[X]$ ist, auf eine Nullstelle dieses Polynoms abgebildet werden. Das schränkt die Möglichkeiten wesentlich ein.

Es ist eine grundlegende Frage, welche Eigenschaften eines Elementes ${}x\in L$ unter einem ${}K$-Algebraautomorphismus erhalten bleiben und welche nicht.

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, ${}x\in L$, ${}F\in K[X]$ ein Polynom mit ${}F(x)=0$ und sei ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$.

Dann ist auch ${}F(\varphi (x))=0$.

Beweis

Sei ${}F=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}$ mit ${}a_{i}\in K$. Dann ist

${}F(\varphi (x))=a_{0}+a_{1}\varphi (x)+\cdots +a_{n}(\varphi (x))^{n}=\varphi (F(x))=\varphi (0)=0\,.$

$\Box$

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.

Dann ist die Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ endlich.

Beweis

Die Körpererweiterung besitzt ein endliches ${}K$-Algebraerzeugendensystem, also ${}L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. Nach Fakt ist ein ${}K$-Algebraautomorphismus

$\varphi \colon L\longrightarrow L$

durch ${}\varphi (x_{i})$, ${}i=1,\ldots ,n$, eindeutig festgelegt. Da jedes ${}x_{i}$ nach Fakt algebraisch ist, gibt es Polynome

${}F_{i}\neq 0\,$

mit ${}F_{i}(x_{i})=0$. Nach Fakt ist auch ${}F_{i}(\varphi (x_{i}))=0$. Die Polynome ${}F_{i}$ besitzen aber nach Fakt jeweils nur endlich viele Nullstellen, sodass nur endlich viele Werte für ${}\varphi (x_{i})$ in Frage kommen.

$\Box$