Körpererweiterung/Galoisgruppe/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Automorphismengruppe

die Galoisgruppe der Körpererweiterung.



Lemma  

Es sei eine Körpererweiterung und es sei , , ein Erzeugendensystem (als Körper) von über . Es sei mit für alle .

Dann ist .

Beweis  

Wir zeigen, dass die Teilmenge

gleich ist. Da ein -Algebrahomomorphismus ist, ist und nach Voraussetzung ist . Mit ist wegen (und entsprechend für die Multiplikation) auch . Ferner ist mit , , wegen

auch . Also ist ein Unterkörper, der und das Körpererzeugendensystem umfasst und daher ist .


Unter einem -Körperautomorphismus muss ein Element , dass Nullstelle eines Polynoms aus ist, auf eine Nullstelle dieses Polynoms abgebildet werden. Das schränkt die Möglichkeiten wesentlich ein.

Es ist eine grundlegende Frage, welche Eigenschaften eines Elementes unter einem -Algebraautomorphismus erhalten bleiben und welche nicht.



Lemma  

Es sei eine Körpererweiterung, , ein Polynom mit und sei .

Dann ist auch .

Beweis  

Sei mit . Dann ist




Satz  

Sei eine endliche Körpererweiterung.

Dann ist die Galoisgruppe endlich.

Beweis  

Die Körpererweiterung besitzt ein endliches -Algebraerzeugendensystem, also . Nach Fakt ist ein -Algebraautomorphismus

durch , , eindeutig festgelegt. Da jedes nach Fakt algebraisch ist, gibt es Polynome

mit . Nach Fakt ist auch . Die Polynome besitzen aber nach Fakt jeweils nur endlich viele Nullstellen, so dass nur endlich viele Werte für in Frage kommen.