Es sei zunächst
separabel und
.
Das
Minimalpolynom
von ist
separabel,
daher ist nach
Fakt
.
Somit folgt aus
-
dass
-
ist.
Es sei nun umgekehrt
vorausgesetzt. Wir verwenden den
separablen Abschluss
und müssen
zeigen. Wir nehmen an, dass
ist. Dann gibt es eine Kette
-
wobei wir
annehmen können. Da
nach
Fakt (3)
rein-inseparabel
ist, ist nach
Fakt
auch
rein-inseparabel. Daher ist das Minimalpolynom von über gleich mit
und
mit
.
Also ist
und daher ist
-
nach
Fakt.
Daher ist auch
aufgrund von
Fakt im Widerspruch zur Voraussetzung.