Kommutative Algebra/Flacher Modul/Kriterien/Einführung/Textabschnitt

Zu einer exakten Sequenz von ${}R$-Moduln

$U\longrightarrow V\longrightarrow W\longrightarrow 0$

und einem weiteren ${}R$-Modul ${}M$ ist nach Fakt auch die tensorierte Sequenz

$U\otimes _{R}M\longrightarrow V\otimes _{R}M\longrightarrow W\otimes _{R}M\longrightarrow 0$

exakt. Allerdings ist zu einer injektiven Abbildung ${}U\rightarrow V$ (man denke beispielsweise an die Situation einer kurzen exakten Sequenz, bei der oben noch eine ${}0$ links steht) die tensorierte Abbildung

$U\otimes _{R}M\longrightarrow V\otimes _{R}M$

im Allgemeinen nicht injektiv. Wenn beispielsweise ${}f\in R$ ein Nichtnullteiler ist, so ist die Multiplikationsabbildung

$\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,x\longmapsto fx,$

injektiv. Für den zu einem Ideal ${}I\subseteq R$ mit ${}f\in I$ gehörenden Restklassenring

${}M=R/I\,$

ist aber die tensorierte Abbildung

$\mu _{f}\otimes _{R}R/I\colon R\otimes _{R}R/I=R/I\longrightarrow R\otimes _{R}R/I=R/I$

die Nullabbildung, da ja ${}[f]=0$ in ${}R/I$ ist. Diese ist nicht (mit der einzigen Ausnahme bei ${}I=R$) injektiv.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Ein ${}R$-Modul ${}M$ heißt flach, wenn die Tensorierung mit ${}M$ die Exaktheit von beliebigen Sequenzen erhält.

Ein freier Modul ist flach, siehe Aufgabe. Restklassenmoduln sind typischerweise nicht flach.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System.

Dann ist der ${}R$-Modul ${}R_{S}$ flach.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Insbesondere ist eine Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ an einem Primideal und der Quotientenkörper zu einem Integritätsbereich flach.

Lemma

Ein ${}R$-Modul ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$

ist bereits dann flach, wenn für endlich erzeugte Moduln ${}U\subseteq V$ die Abbildung

$U\otimes _{R}M\longrightarrow V\otimes _{R}M$

injektiv ist.

Beweis

Modul/Flach/Kriterium/Endlich erzeugt/Fakt/Beweis

$\Box$