Kommutative Ringtheorie/Ideal/Teilbarkeitsbeziehungen/Textabschnitt

Mit dem Idealbegriff lassen sich Teilbarkeitsbeziehungen ausdrücken.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}a,b\in R$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Element ${}a$ ist ein Teiler von ${}b$ (also ${}a{|}b$), genau dann, wenn ${}(b)\subseteq (a)$.
2. ${}a$ ist eine Einheit genau dann, wenn ${}(a)=R=(1)$.
3. Jede Einheit teilt jedes Element.
4. Teilt ${}a$ eine Einheit, so ist ${}a$ selbst eine Einheit.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ und ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ das davon erzeugte Ideal. Ein Element ${}t\in R$ ist ein gemeinsamer Teiler von ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ genau dann, wenn ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (t)$ ist, und ${}t$ ist ein größter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn für jedes ${}s\in R$ mit ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (s)$ folgt, dass ${}(t)\subseteq (s)$ ist. Ein größter gemeinsamer Teiler erzeugt also ein minimales Hauptoberideal von ${}{\mathfrak {a}}$.

Beweis

Aus ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})\subseteq (t)$ folgt sofort ${}(a_{i})\subseteq (t)$ für ${}i=1,\ldots ,k$, was gerade bedeutet, dass ${}t$ diese Elemente teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Es sei umgekehrt ${}t$ ein gemeinsamer Teiler. Dann ist ${}a_{i}\in (t)$ und da ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ das kleinste Ideal ist, das alle ${}a_{i}$ enthält, muss ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (t)$ gelten. Der zweite Teil folgt sofort aus dem ersten.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ und ${}{\mathfrak {b}}=(a_{1})\cap \ldots \cap (a_{k})$ der Durchschnitt der zugehörigen Hauptideale. Ein Element ${}r\in R$ ist ein gemeinsames Vielfaches von ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ genau dann, wenn ${}(r)\subseteq {\mathfrak {b}}$ ist, und ${}r$ ist ein kleinstes gemeinsames Vielfaches genau dann, wenn für jedes ${}s\in R$ mit ${}(s)\subseteq {\mathfrak {b}}$ folgt, dass ${}(s)\subseteq (r)$ ist. Ein kleinstes gemeinsames Vielfaches erzeugt also ein maximales Hauptdeal innerhalb von ${}{\mathfrak {b}}$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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