Kommutativer Ring/Halbring und Z bekannt/Einführung/Textabschnitt
Eine Menge heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)
und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
- Axiome der Addition
- Assoziativgesetz: Für alle gilt .
- Kommutativgesetz: Für alle gilt .
- ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
- Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
- Axiome der Multiplikation
- Assoziativgesetz: Für alle gilt .
- ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
- Distributivgesetz: Für alle gilt und .
Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
Ein kommutativer Ring ist insbesondere ein kommutativer Halbring, alle für Halbringe geltenden Eigenschaften wie beispielsweise die allgemeine binomische Formel gelten insbesondere auch für kommutative Ringe. Der wesentliche Unterschied liegt in der zusätzlichen Bedingung (1.4), der Existenz des Negativen. Dieses Negative ist eindeutig bestimmt: Wenn nämlich sowohl als auch die Eigenschaft haben, dass ihre Addition zu den Wert ergibt, so erhält man direkt
Für das zu jedem eindeutig bestimmte Negative schreiben wir . Wegen
ist auch das Negative zu , also . Bei stimmt diese Definition mit der Definition überein, wie der Beweis der Existenz des Negativen in Fakt zeigt.
Mit diesem neuen Begriff können wir festhalten.
Die ganzen Zahlen
bilden einen kommutativen Ring.
In einem kommutativen Ring und Elemente
verwendet man
als abkürzende Schreibweise. Man spricht von der Subtraktion bzw. der Differenz. Die Subtraktion ist also die Addition von mit dem Negativen (also ) von . Bei natürlichen Zahlen mit stimmt die innerhalb der natürlichen Zahlen genommenen Differenz
mit der hier in über das Negative genommenen Differenz überein. Dies beruht darauf, dass es sich jeweils um eine Lösung der Gleichung
handelt und diese Gleichung eine eindeutige Lösung besitzt.
Es sei ein kommutativer Ring und seien Elemente aus .
Dann gelten folgende Aussagen.
-
(Annullationsregel),
-
(Vorzeichenregel),
- Es ist . Durch beidseitiges Abziehen (also Addition mit ) von ergibt sich die Behauptung.
-
nach Teil (1). Daher ist das (eindeutig bestimmte) Negative von .
- Nach (2) ist und wegen folgt die Behauptung.
- Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.
Wie in jedem kommutativen Halbring kann man in jedem kommutativen Ring Ausdrücke der Form mit
und
sinnvoll interpretieren, und zwar ist die -fache Summe von mit sich selbst. Auch die Potenzschreibweise wird wieder verwendet und es gelten insbesondere die in
Fakt
formulierten Potenzgesetze. Darüber hinaus kann man auch für negative Zahlen den Ausdruck interpretieren, nämlich als
Insbesondere ist
in jedem kommutativen Ring sinnvoll interpretierbar. Dabei gelten naheliegende Rechengesetze, siehe Aufgabe.