Kommutatives Monoid/Kürzbar/Torsion/Beispiele/Textabschnitt

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Es sei ein kürzbares, endlich erzeugtes kommutatives Monoid mit der Differenzengruppe . Wegen der Kürzbarkeit gilt

mit einer kommutativen Torsionsgruppe . Es sei eine Torsionseinheit, dessen Ordnung ein Teiler von sei. Dann definiert dies einen Monoid-Automorphismus

Es ist ja

Dieser Automorphismus ist mit der natürlichen Einbettung von , bei der die zweite Komponente gleich gesetzt wird, verträglich. Auf der Monoidringebene ist dies die Abbildung

Eine Cech-Kohomologieklasse zur Garbe der Torsionseinheiten auf einer offenen Menge

die man innerhalb einer Untergarbe realisieren kann, ergibt ein -Bündel über . Wenn der Kozykel durch mit

und gegeben ist, so muss man entlang der Automophismen

verkleben. Eine zweite Frage ist, ob man das entstehende Monoidschema quasiaffin als offene Teilmenge eines affinen kombinatorischen Schemas realisieren kann.


Beispiel  

Wir betrachten das kürzbare kommutative Monoid

(zu fixiertem ). Es ist

und entsprechend für . Ferner ist

Daraus ergibt sich, dass die Cech-Kohomologie zur Einheitengarbe auf dem punktierten kombinatorischen Spektrum

trivial ist.



Beispiel  

Der Monoidring zum Monoid aus Beispiel ist

Es ist

(mit ) und die Einheiten sind . Ferner ist

und die Einheiten sind . Auf den konstanten Einheiten ergibt sich der Cech-Komplex

und eine große Picardgruppe, obwohl die kombinatorische Picardgruppe trivial ist.



Beispiel  

Wir betrachten das kürzbare kommutative Monoid

(zu fixiertem ). Für die Nenneraufnahmen gelten

mit und entsprechend für . Es ist

Die Cech-Kohomologie zur Überdeckung

ist daher gleich . Die Kohomologieklasse

wird durch das kombinatorische -Bündel realisiert, das durch die Identifizierung

gegeben ist. Für ein Geradenbündel muss man die Identifizierung


Die kombinatorischen Geradenbündel lassen sich als quasiaffine Spektra zu Monoiden realisieren. Sei . Durch

werden -Monoide definiert, die über zu trivialisieren, da man dann eliminieren kann und somit nur die neue freie Variable übrig bleibt. Man beachte, dass in der Differenzengruppe

gilt. Es ergibt sich also über dem punktierten Spektrum ein kombinatorisches Geradenbündel, nämlich


Beispiel  

Es sei

das Monoid aus Beispiel. Über einem Körper, der sämtliche -ten Einheitswurzeln enthält, besteht aus Ebenen, da der Monoidring durch

gegeben ist und daher die Faktorisierung

vorliegt, wobei eine -te primitive Einheitswurzel bezeichnet. Je zwei Ebenen schneiden sich in , also im ebenen Achsenkreuz. Die Einheitengarbe ist

da zusammenhängend ist, und

Unter den Restriktionsabbildungen gehen die konstanten Einheiten auf die gleiche Untergarbe, als Kokern erhält man also



In der folgenden Überlegung bringen wir die zuvor erwähnten Beispiele miteinander in Verbindung. Es ist

das punktierte Schema und

ist eine Torsionseinheit der Ordnung . Das angegebene Monoid liefert eine Realisierung.


Beispiel  

Wir betrachten die kürzbaren kommutativen Monoide

und

(zu fixiertem ) mit dem natürlichen Monoidhomomorphismus

(wobei auf sich selbst gehen). Wegen

ist diese Abbildung wohldefiniert. Für die Nenneraufnahmen gelten

mit und

wobei wir gesetzt haben. Entsprechendes gilt für und . Somit ist auf dem punktierten Spektrum die Abbildung

lokal trivial mit der Faser . Es handelt sich um eine (quasifaffine Realisierung einer) kombinatorische Überlagerung.

Über einem Körper, der sämtliche -ten Einheitswurzeln enthält, besteht aus Ebenen, da der Monoidring durch

gegeben ist und daher die Faktorisierung

vorliegt, wobei eine -te primitive Einheitswurzel bezeichnet. Je zwei Ebenen schneiden sich in , also im ebenen Achsenkreuz. Der Monoidring zu ist

Dagegen besteht aus Ebenen, die durch

gegeben sind. Dabei schneiden sich zwei Ebenen und in einer Geraden, wenn ein Index übereinstimmt, sonst im Nullpunkt. Insgesamt ist zusammenhängend. Über liegen disjunkte Kopien von .

Das Monoid ist -graduiert, wobei den Erzeugergrad bekommen. Das Monoid ist -graduiert, wobei den Grad , den Grad und den Grad bekommen. Die beiden Graduierungen sind über die Diagonale verträglich. Das Monoid ist das Grad -Untermonoid zur Diagonalgraduierung.

Auf wirkt die Gruppe und auf wirkt die Gruppe , was den Graduierungen entspricht. Die Operation der Charaktergruppe zur Diagonalen besitzt als Invariantenring.