Kommutatives Monoid/Kürzbar/Torsion/Beispiele/Textabschnitt

Es sei ${}M$ ein kürzbares, endlich erzeugtes kommutatives Monoid mit der Differenzengruppe ${}\Gamma$. Wegen der Kürzbarkeit gilt

${}\Gamma =\mathbb {Z} ^{d}\times T\,$

mit einer kommutativen Torsionsgruppe ${}T$. Es sei ${}u\in T\cap M^{\times }$ eine Torsionseinheit, dessen Ordnung ein Teiler von ${}n$ sei. Dann definiert dies einen Monoid-Automorphismus

$\varphi _{u}\colon M\times \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow M\times \mathbb {Z} /(n),\,(m,i)\longmapsto (m+iu,i).$

Es ist ja

${}{\begin{aligned}\varphi _{u}((m,i)+(n,j))&=\varphi _{u}((m+n,i+j))\\&=(m+n+(i+j)u),i+j)\\&=(m+iu,i)+(n+ju,j)\\&=\varphi _{u}((m,i))+\varphi _{u}((n,j)).\end{aligned}}$

Dieser Automorphismus ist mit der natürlichen Einbettung von ${}M$, bei der die zweite Komponente gleich ${}0$ gesetzt wird, verträglich. Auf der Monoidringebene ist dies die Abbildung

$K[M][V]/(V^{n}-1)\longrightarrow K[M][V]/(V^{n}-1),\,V\longmapsto uV.$

Eine Cech-Kohomologieklasse zur Garbe der Torsionseinheiten auf einer offenen Menge

${}U=\operatorname {Spec} {\left(M\right)}\,,$

die man innerhalb einer Untergarbe ${}\mathbb {Z} /(n)\subseteq T$ realisieren kann, ergibt ein ${}\mathbb {Z} /(n)$-Bündel über ${}U$. Wenn der Kozykel durch ${}(D(f_{i}),u_{ij})$ mit

${}U=\bigcup _{i}D(f_{i})\,$

und ${}u_{ij}\in \Gamma (D(f_{i}+f_{j}),\mathbb {Z} /(n))$ gegeben ist, so muss man entlang der Automophismen

$\varphi _{u_{ij}}\colon M_{f_{i}+f_{j}}\times \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow M_{f_{i}+f_{j}}\times \mathbb {Z} /(n)$

verkleben. Eine zweite Frage ist, ob man das entstehende Monoidschema quasiaffin als offene Teilmenge eines affinen kombinatorischen Schemas realisieren kann.

Beispiel

Wir betrachten das kürzbare kommutative Monoid

${}N=\langle a,b,f,g\rangle /(na=nf,nb=ng)\,$

(zu fixiertem $n\in \mathbb {N} _{+}$). Es ist

${}N_{f}\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /(n)\times \langle b,g\rangle /(nb=ng)\,$

und entsprechend für ${}N_{g}$. Ferner ist

${}N_{f+g}\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)\,.$

Daraus ergibt sich, dass die Cech-Kohomologie zur Einheitengarbe auf dem punktierten kombinatorischen Spektrum

${}U=D(f,g)\,$

trivial ist.

Beispiel

Der Monoidring zum Monoid ${}N$ aus Beispiel ist

${}R=K[N]=K[X,Y,V,W]/(X^{n}-V^{n},Y^{n}-W^{n})\,.$

Es ist

${}R_{X}=K[X,X^{-1},S]/(S^{n}-1)[Y,W]/(Y^{n}-W^{n})\,$

(mit ${}S=V/X$) und die Einheiten sind ${}\mathbb {Z} \times (K^{\times })^{n}$. Ferner ist

${}R_{XY}=K[X,X^{-1},Y,Y^{-1},S,T]/(S^{n}-1,T^{n}-1)\,$

und die Einheiten sind ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times (K^{\times })^{n^{2}}$. Auf den konstanten Einheiten ergibt sich der Cech-Komplex

$K^{\times }\longrightarrow (K^{\times })^{n}\times (K^{\times })^{n}\longrightarrow (K^{\times })^{n^{2}}$

und eine große Picardgruppe, obwohl die kombinatorische Picardgruppe trivial ist.

Beispiel

Wir betrachten das kürzbare kommutative Monoid

${}M=\langle f,g,h\rangle /(nh=nf+ng)\,$

(zu fixiertem $n\in \mathbb {N} _{+}$). Für die Nenneraufnahmen gelten

${}M_{f}={\left(\langle f,g,h\rangle /(nh=nf+ng)\right)}_{f}={\left(\langle b,g\rangle /(nb=ng)\right)}\times \mathbb {Z} \,$

mit ${}h-f=b$ und entsprechend für ${}M_{g}$. Es ist

${}M_{g+f}=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /(n)\,.$

Die Cech-Kohomologie zur Überdeckung

${}U=D(f)\cup D(g)\,$

ist daher gleich ${}\mathbb {Z} /(n)$. Die Kohomologieklasse

${}c=i(h-f-g)\in \Gamma (D(f+g),{\mathcal {O}}^{\times })_{\operatorname {tor} }\cong \mathbb {Z} /(n)\,$

wird durch das kombinatorische ${}{\mathbb {A} }_{}^{\times }$-Bündel realisiert, das durch die Identifizierung

$\varphi _{c}\colon M_{f+g}\times \mathbb {Z} \longrightarrow M_{f+g}\times \mathbb {Z} ,\,(m,n)\longmapsto (m+nc,n)$

gegeben ist. Für ein Geradenbündel muss man die Identifizierung

$\varphi _{c}\colon M_{f+g}\times \mathbb {N} \longrightarrow M_{f+g}\times \mathbb {N} ,\,(m,n)\longmapsto (m+nc,n)$

Die kombinatorischen Geradenbündel lassen sich als quasiaffine Spektra zu Monoiden realisieren. Sei ${}0\leq i<n$. Durch

${}M_{i}=\langle f,g,h,s,t\rangle /(nh=nf+ng,nf+s=ih+t,ng+t=(n-i)h+s)\,$

werden ${}M$-Monoide definiert, die über ${}M_{f}$ zu ${}M_{f}\times \mathbb {N}$ trivialisieren, da man dann ${}s$ eliminieren kann und somit nur die neue freie Variable ${}t$ übrig bleibt. Man beachte, dass in der Differenzengruppe

${}s=ih+t-nf=ih+((n-i)h+s-ng)-nf=s+nh-ng-nf=s\,$

gilt. Es ergibt sich also über dem punktierten Spektrum ein kombinatorisches Geradenbündel, nämlich

${}L_{i}=D(f,g)\subseteq \operatorname {Spec} {\left(M_{i}\right)}\,.$

Beispiel

Es sei

${}M=\langle f,g,h\rangle /(nh=nf+ng)\,$

das Monoid aus Beispiel. Über einem Körper, der sämtliche ${}n$-ten Einheitswurzeln enthält, besteht ${}K-\operatorname {Spec} {\left(M\right)}$ aus ${}n$ Ebenen, da der Monoidring durch

${}R=K[X,Y,Z]/{\left(Z^{n}-X^{n}Y^{n}\right)}\,$

gegeben ist und daher die Faktorisierung

${}Z^{n}-X^{n}Y^{n}={\left(Z-XY\right)}(Z-\zeta XY)\cdots (Z-\zeta ^{n-1}XY)\,$

vorliegt, wobei ${}\zeta$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel bezeichnet. Je zwei Ebenen schneiden sich in ${}Z=XY=0$, also im ebenen Achsenkreuz. Die Einheitengarbe ist

${}\Gamma (D(X),{\mathcal {O}}^{\times })=K^{\times }\times \mathbb {Z} \,,$

da ${}D(X)$ zusammenhängend ist, und

${}\Gamma (D(XY),{\mathcal {O}}^{\times })={\left(K^{\times }\right)}^{n}\times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \,.$

Unter den Restriktionsabbildungen gehen die konstanten Einheiten auf die gleiche Untergarbe, als Kokern erhält man also

${}{\left(K^{\times }\right)}^{n}/{\rm {Diagonale}}\cong {\left(K^{\times }\right)}^{n-1}\,.$

In der folgenden Überlegung bringen wir die zuvor erwähnten Beispiele miteinander in Verbindung. Es ist

${}U=D(f)\cup D(g)\,$

das punktierte Schema und

$h-f-g\in \Gamma (D(f+g),{\mathcal {O}}^{\times })$

ist eine Torsionseinheit der Ordnung ${}n$. Das angegebene Monoid ${}N$ liefert eine Realisierung.

Beispiel

Wir betrachten die kürzbaren kommutativen Monoide

${}M=\langle f,g,h\rangle /(nh=nf+ng)\,$

und

${}N=\langle a,b,f,g\rangle /(na=nf,nb=ng)\,$

(zu fixiertem $n\in \mathbb {N} _{+}$) mit dem natürlichen Monoidhomomorphismus

$M\longrightarrow N,\,h\longmapsto a+b,$

(wobei ${}f,g$ auf sich selbst gehen). Wegen

${}nh=n(a+b)=na+nb=nf+ng\,$

ist diese Abbildung wohldefiniert. Für die Nenneraufnahmen gelten

${}M_{f}={\left(\langle f,g,h\rangle /(nh=nf+ng)\right)}_{f}={\left(\langle b,g\rangle /(nb=ng)\right)}\times \mathbb {Z} \,$

mit ${}h-f=b$ und

${}{\begin{aligned}N_{f}&={\left(\langle a,b,f,g\rangle /(na=nf,nb=ng)\right)}_{f}\\&={\left(\langle c,b,f,g\rangle /(nc=0,nb=ng)\right)}_{f}\\&={\left(\langle b,g\rangle /(nb=ng)\right)}\times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /(n)\\&=M_{f}\times \mathbb {Z} /(n),\end{aligned}}$

wobei wir ${}c=f-a$ gesetzt haben. Entsprechendes gilt für ${}M_{g}$ und ${}N_{g}$. Somit ist auf dem punktierten Spektrum ${}D(f,g)$ die Abbildung

$\operatorname {Spec} {\left(N\right)}\longrightarrow \operatorname {Spec} {\left(M\right)}$

lokal trivial mit der Faser ${}\operatorname {Spec} {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}$. Es handelt sich um eine (quasifaffine Realisierung einer) kombinatorische Überlagerung.

Über einem Körper, der sämtliche ${}n$-ten Einheitswurzeln enthält, besteht ${}K-\operatorname {Spec} {\left(M\right)}$ aus ${}n$ Ebenen, da der Monoidring durch

$K[X,Y,Z]/{\left(Z^{n}-X^{n}Y^{n}\right)}$

gegeben ist und daher die Faktorisierung

${}Z^{n}-X^{n}Y^{n}={\left(Z-XY\right)}(Z-\zeta XY)\cdots (Z-\zeta ^{n-1}XY)\,$

vorliegt, wobei ${}\zeta$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel bezeichnet. Je zwei Ebenen schneiden sich in ${}Z=XY=0$, also im ebenen Achsenkreuz. Der Monoidring zu ${}N$ ist

${}K[N]=K[X,Y,V,W]/{\left(X^{n}-V^{n},Y^{n}-W^{n}\right)}\,.$

Dagegen besteht ${}K-\operatorname {Spec} {\left(N\right)}$ aus ${}n^{2}$ Ebenen, die durch

$V(X-\zeta ^{i}V,Y-\zeta ^{j}W),\,(i,j)\in \mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)$

gegeben sind. Dabei schneiden sich zwei Ebenen ${}E_{ij}$ und ${}E_{rs}$ in einer Geraden, wenn ein Index übereinstimmt, sonst im Nullpunkt. Insgesamt ist ${}K-\operatorname {Spec} {\left(N\right)}$ zusammenhängend. Über ${}K-\operatorname {Spec} {\left(M_{f}\right)}$ liegen ${}n$ disjunkte Kopien von ${}K-\operatorname {Spec} {\left(M_{f}\right)}$.

Das Monoid ${}M$ ist ${}\mathbb {Z} /(n)$-graduiert, wobei ${}f,g,h$ den Erzeugergrad ${}1\in \mathbb {Z} /(n)$ bekommen. Das Monoid ${}N$ ist ${}\mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)$-graduiert, wobei ${}a$ den Grad ${}(1,0)$, ${}b$ den Grad ${}(0,1)$ und ${}f,g$ den Grad ${}(1,1)$ bekommen. Die beiden Graduierungen sind über die Diagonale verträglich. Das Monoid ${}M$ ist das Grad ${}0$-Untermonoid zur Diagonalgraduierung.

Auf ${}K-\operatorname {Spec} {\left(M\right)}$ wirkt die Gruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\vee }=\mu _{n}$ und auf ${}K-\operatorname {Spec} {\left(N\right)}$ wirkt die Gruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)\right)}^{\vee }=\mu _{n}\times \mu _{n}$, was den Graduierungen entspricht. Die Operation der Charaktergruppe zur Diagonalen besitzt ${}K[M]$ als Invariantenring.