Komplexe Exponentialfunktion über Exponentialreihe/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Für jedes heißt die Reihe

die Exponentialreihe in .

Dies ist also die Reihe



Satz  

Für jedes ist die Exponentialreihe

absolut konvergent.

Beweis  

Für ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten

Dies ist für kleiner als . Aus dem Quotientenkriterium folgt daher die Konvergenz.


Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die komplexe Exponentialfunktion definieren.

Der Graph der reellen Exponentialfunktion



Definition  

Die Abbildung

heißt (komplexe) Exponentialfunktion.




Satz  

Für komplexe Zahlen gilt

Beweis  

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist

mit . Diese Reihe ist nach Fakt absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der -te Summand der Exponentialreihe von nach der allgemeinen binomischen Formel gleich

so dass die beiden Seiten übereinstimmen.




Korollar  

Die Exponentialfunktion

besitzt folgende Eigenschaften.
  1. Es ist .
  2. Für jedes ist . Insbesondere ist .
  3. Für ganze Zahlen ist .
  4. Für reelles ist .
  5. Für reelle Zahlen ist und für ist .
  6. Die reelle Exponentialfunktion ist streng wachsend.

Beweis  

(1) folgt direkt aus der Definition.
(2) folgt aus

aufgrund von Fakt.
(3) folgt aus Fakt und (2).
(4). Der Wert der Exponentialreihe für eine reelle Zahl ist wieder reell, da die reellen Zahlen in abgeschlossen sind. Die Nichtnegativität ergibt sich aus


(5). Für reelles ist , so dass nach (4) ein Faktor sein muss und der andere Faktor . Für ist

da ja für gerades die Summationsglieder übereinstimmen und für ungerades die linke Seite größer als die rechte ist. Also ist .
(6). Für reelle ist und daher nach (5) , also