Komplexe Mannigfaltigkeit/Kotangentialraum/Kotangentialbündel/Einführung/Textabschnitt

Zu einer holomorphen Funktion ${}f\colon M\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einer komplexen Mannigfaltigkeit ${}M$ und einem Punkt ${}P\in M$ die Tangentialabbildung

$T_{P}f\colon T_{P}M\longrightarrow T_{P}{\mathbb {C} }\cong {\mathbb {C} }$

eine nach Fakt  (3) komplex-lineare Abbildung, wobei die hintere Identifizierung unmittelbar gegeben ist (siehe etwa Fakt für die identische Karte). Somit kann man ${}T_{P}f$ als ein Element des Dualraumes zum Tangentialraum in ${}P$ auffassen. Wenn ${}M\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ eine offene Teilmenge ist, so ist nach Fakt  (1) die Tangentialabbildung im Punkt ${}P$ einfach das totale Differential. Daher werden wir im Folgenden auch ${}(df)_{P}$ statt ${}T_{P}f$ schreiben.

Definition

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Man nennt den komplexen Dualraum des Tangentialraumes ${}T_{P}M$ an ${}P$ den (holomorphen) Kotangentialraum an ${}P$. Er wird mit

${}T_{P}^{*}M=\operatorname {Hom} _{\mathbb {C} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}\,$

bezeichnet.

Definition

Es seien ${}M$ und ${}N$ komplexe Mannigfaltigkeiten und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine holomorphe Abbildung. Es sei ${}P\in M$ und ${}Q=\varphi (P)$. Dann nennt man die zur Tangentialabbildung

$T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{Q}N$

duale Abbildung

$T_{Q}^{*}N\longrightarrow T_{P}^{*}M,\,h\longmapsto h\circ T_{P}(\varphi ),$

die Kotangentialabbildung im Punkt ${}P$. Sie wird mit ${}T_{P}^{*}(\varphi )$ bezeichnet.

Ausgeschrieben handelt es sich dabei um die Abbildung

$T_{Q}^{*}N\longrightarrow T_{P}^{*}M,\,h\longmapsto ([\gamma ]\mapsto h([\varphi \circ \gamma ])).$

Wie die Tangentialräume zum Tangentialbündel zusammengefasst werden, so werden auch die Kotangentialräume zum Kotangentialbündel zusammengefasst.

Definition

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Dann nennt man die Menge

${}T^{*}M=\biguplus _{P\in M}T_{P}^{*}M\,,$

versehen mit der Projektionsabbildung

$\pi \colon T^{*}M\longrightarrow M,\,(P,u)\longmapsto P,$

und derjenigen Topologie, bei der eine Teilmenge ${}W\subseteq T^{*}M$ genau dann offen ist, wenn für jede Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

die Menge ${}(T^{*}(\alpha ))^{-1}{\left(W\cap \pi ^{-1}(U)\right)}$ offen in ${}V\times ({\mathbb {C} }^{n})^{*}$ ist, das Kotangentialbündel von ${}M$.

Das Kotangentialbündel ist selbst eine komplexe Mannigfaltigkeit der doppelten Dimension. Bei

${}M\cong V\subseteq {\mathbb {C} }^{n}\,$

ist das Kotangentialbündel biholomorph zu ${}V\times {\mathbb {C} }^{n}$ und damit in diesem Fall auch biholomorph zum Tangetialbündel. Als globales Objekt über einer komplexen Mannigfaltigkeit muss man aber stets zwischen Tangentialbündel und Kotangentialbündel unterscheiden.