Komplexe Reihen/Konvergenz/Zusammenfassung/Textabschnitt

Definition

Man sagt, dass eine Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ von komplexen Zahlen $a_n$ konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen

$s_n=\sum _{k=0}^n{a}_k$

konvergiert.

Lemma

Es seien

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k\text{ und }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k$

konvergente Reihen von komplexen Zahlen mit den Summen $s$ und $t$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k$ mit  $c_n=a_n+b_n$  ist ebenfalls konvergent mit der Summe $s+t$.
2. Für  $\lambda \in ℂ$  ist auch die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{d}_k$ mit  $d_n=\lambda a_n$  konvergent mit der Summe $\lambda s$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$

Lemma

Es sei

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

eine Reihe von komplexen Zahlen.

Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem  $ϵ>0$  gibt es ein $n_0$ derart, dass für alle  $n\ge m=n_0$  die Abschätzung

$|\sum _{k=m}^n{a}_k|\le ϵ$

gilt.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$

Lemma

Es sei

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

eine konvergente Reihe von komplexen Zahlen.

Dann ist

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_k=0.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$

Definition

Eine Reihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|a_k|$

konvergiert.

Lemma

Es sei $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k$ eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und ${\left(a_k\right)}_{k\in \mathbb{N}}$ eine Folge komplexer Zahlen mit  $|a_k|\le b_k$  für alle $k$.

Dann ist die Reihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

absolut konvergent.

Beweis

Das folgt direkt aus dem Cauchy-Kriterium.

$◻$

Lemma

Es sei $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ eine absolut konvergente komplexe Reihe.

Dann konvergiert jede Umordnung der Reihe gegen den gleichen Grenzwert.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$

Lemma

Es sei

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

eine Reihe von komplexen Zahlen. Es gebe eine reelle Zahl $q$ mit  $0\le q<1$  und ein $k_0$ mit

$|\frac{a_{k+1}}{a_k}|\le q$

für alle  $k\ge k_0$  (Insbesondere sei $a_k\ne 0$ für $k\ge k_0$).

Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ absolut.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$

Lemma

Es sei $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ eine komplexe Reihe. Es gebe ein reelles $q$,  $0\le q<1$,  mit

$\sqrt[n]{|a_n|}\le q$

für alle $n$.

Dann konvergiert die Reihe absolut.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$

Definition

Zu Reihen $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$ und $\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j$ komplexer Zahlen heißt die Reihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k\text{ mit }{c}_k=\sum _{i=0}^k{a}_i{b}_{k-i}$

das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.

Lemma

Es seien

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k\text{ und }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k$

zwei absolut konvergente Reihen komplexer Zahlen.

Dann ist auch das Cauchy-Produkt $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k$ absolut konvergent und für die Summe gilt

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k=\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k\right).$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$