Komplexe Zahlen/2/Einführung/Textabschnitt

Die Produktmenge ${}\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ ist mit komponentenweiser Addition und komponentenweiser Multiplikation ein kommutativer Ring (wobei $(0,0)$ das Nullelement und $(1,1)$ das Einselement ist). Es handelt sich aber nicht um einen Körper, da beispielsweise ${}(1,0)\cdot (0,1)=(0,0)$ zeigt, dass es darin Nullteiler gibt. Allerdings kann man ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit einer anderen Multiplikation zu einem Körper machen.

Definition

Die Menge ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit ${}0:=(0,0)$ und ${}1:=(1,0)$, mit der komponentenweisen Addition und der durch

${}(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,$

definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit

${\mathbb {C} }$

bezeichnet.

Die Addition ist also einfach die vektorielle Addition im ${}\mathbb {R} ^{2}$, während die Multiplikation eine neuartige Verknüpfung ist, die zwar numerisch einfach durchführbar ist, an die man sich aber dennoch gewöhnen muss.

Lemma

Die komplexen Zahlen

bilden einen Körper.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Hierbei sind nur das Assoziativgesetz für die Multiplikation, das Distibutivgesetz und die Existenz der Inversen nicht unmittelbar klar.

Wir lösen uns von der Paarschreibweise und schreiben

${}a+b{\mathrm {i} }:=(a,b)\,.$

Insbesondere ist ${}{\mathrm {i} }=(0,1)$, diese Zahl heißt imaginäre Einheit. Diese Zahl hat die wichtige Eigenschaft

${}{\mathrm {i} }^{2}=-1\,.$

Aus dieser Eigenschaft ergeben sich sämtliche algebraischen Eigenschaften der komplexen Zahlen durch die Körpergesetze. So kann man sich auch die obige Multiplikationsregel merken, es ist ja

${}(a+b{\mathrm {i} })(c+d{\mathrm {i} })=ac+ad{\mathrm {i} }+b{\mathrm {i} }c+b{\mathrm {i} }d{\mathrm {i} }=ac+bd{\mathrm {i} }^{2}+(ad+bc){\mathrm {i} }=ac-bd+(ad+bc){\mathrm {i} }\,.$

Wir fassen eine reelle Zahl ${}a$ als die komplexe Zahl ${}a+0{\mathrm {i} }=(a,0)$ auf. In diesem Sinne ist ${}\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }$ eine Körpererweiterung. Es ist gleichgültig, ob man zwei reelle Zahlen als reelle Zahlen oder als komplexe Zahlen addiert oder multipliziert.

Definition

Zu einer komplexen Zahl

${}z=a+b{\mathrm {i} }\,$

heißt

${}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}=a\,$

der Realteil von ${}z$ und

${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=b\,$

heißt der Imaginärteil von ${}z$.

Man sollte sich allerdings die Menge der komplexen Zahlen nicht als etwas vorstellen, das weniger real als andere Zahlensysteme ist. Die Konstruktion der komplexen Zahlen aus den reellen Zahlen ist bei Weitem einfacher als die Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen. Allerdings war es historisch ein langer Prozess, bis die komplexen Zahlen als Zahlen anerkannt wurden; das Irreale daran ist, dass sie einen Körper bilden, der nicht angeordnet werden kann, und dass es sich daher scheinbar um keine Größen handelt, mit denen man sinnvollerweise etwas messen kann.

Man kann sich die komplexen Zahlen als die Punkte in einer Ebene vorstellen; für die additive Struktur gilt ja einfach ${}{\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}$. In diesem Zusammenhang spricht man von der Gaussschen Zahlenebene. Die horizontale Achse nennt man dann die reelle Achse und die vertikale Achse die imaginäre Achse.

Lemma

Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen erfüllen folgende Eigenschaften (für ${}z$ und ${}w$ aus ${}{\mathbb {C} }$).

1. Es ist ${}z=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}{\mathrm {i} }$.
2. Es ist ${}\operatorname {Re} \,{\left(z+w\right)}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Re} \,{\left(w\right)}$.
3. Es ist ${}\operatorname {Im} \,{\left(z+w\right)}=\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Im} \,{\left(w\right)}$.
4. Für ${}r\in \mathbb {R}$ ist

   $\operatorname {Re} \,{\left(rz\right)}=r\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}{\text{ und }}\operatorname {Im} \,{\left(rz\right)}=r\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}.$

5. Es ist ${}z=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}$ genau dann, wenn ${}z\in \mathbb {R}$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=0$ ist.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Definition

Die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}:=a-b{\mathrm {i} },$

heißt komplexe Konjugation.

Zu ${}z$ heißt ${}{\overline {z}}$ die konjugiert-komplexe Zahl von ${}z$. Geometrisch betrachtet ist die komplexe Konjugation zu ${}z\in {\mathbb {C} }$ einfach die Achsenspiegelung an der reellen Achse.

Lemma

Für die komplexe Konjugation gelten die folgenden Rechenregeln (für beliebige ${}z,w\in {\mathbb {C} }$).

1. Es ist ${}{\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}$.
2. Es ist ${}{\overline {-z}}=-{\overline {z}}$.
3. Es ist ${}{\overline {z\cdot w}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}$.
4. Für ${}z\neq 0$ ist ${}{\overline {1/z}}=1/{\overline {z}}$.
5. Es ist ${}{\overline {\overline {z}}}=z$.
6. Es ist ${}{\overline {z}}=z$ genau dann, wenn ${}z\in \mathbb {R}$ ist.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Für eine komplexe Zahl ${}z$ gelten die folgenden Beziehungen.

1. Es ist ${}{\overline {z}}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}-\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}{\mathrm {i} }$.
2. Es ist ${}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$.
3. Es ist ${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}={\frac {z-{\overline {z}}}{2{\mathrm {i} }}}$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Das Quadrat ${}d^{2}$ einer reellen Zahl ist stets nichtnegativ, und die Summe von zwei nichtnegativen reellen Zahlen ist wieder nichtnegativ. Zu einer nichtnegativen reellen Zahl ${}c$ gibt es nach Fakt eine eindeutige nichtnegative Quadratwurzel ${}{\sqrt {c}}$. Daher liefert folgende Definition eine wohldefinierte nichtnegative reelle Zahl.

Definition

Zu einer komplexen Zahl

${}z=a+b{\mathrm {i} }\,$

ist der Betrag durch

${}\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

definiert.

Der Betrag einer komplexen Zahl ${}z$ ist aufgrund des Satzes des Pythagoras der Abstand von ${}z$ zum Nullpunkt ${}0=(0,0)$. Insgesamt ist der Betrag eine Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,z\longmapsto \vert {z}\vert .$

Die Menge aller komplexen Zahlen mit einem bestimmten Betrag bilden einen Kreis mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und mit dem Betrag als Radius. Insbesondere bilden alle komplexen Zahlen mit dem Betrag ${}1$ den komplexen Einheitskreis. Es sei hier erwähnt, dass das Produkt von zwei komplexen Zahlen auf dem Einheitskreis sich ergibt, indem man die zugehörigen Winkel, gemessen von der positiven reellen Achse aus gegen den Uhrzeigersinn, addiert.

Lemma

Für den Betrag von komplexen Zahlen gelten folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}\vert {z}\vert ={\sqrt {z\ {\overline {z}}}}$.
2. Für reelles ${}z$ stimmen reeller und komplexer Betrag überein.
3. Es ist ${}\vert {z}\vert =0$ genau dann, wenn ${}z=0$ ist.
4. Es ist ${}\vert {z}\vert =\vert {\overline {z}}\vert$.
5. Es ist ${}\vert {zw}\vert =\vert {z}\vert \cdot \vert {w}\vert$.
6. Für ${}z\neq 0$ ist ${}\vert {1/z}\vert =1/\vert {z}\vert$.
7. Es ist ${}\vert {\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}}\vert ,\vert {\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}}\vert \leq \vert {z}\vert$.
8. Es ist ${}\vert {z+w}\vert \leq \vert {z}\vert +\vert {w}\vert$ (Dreiecksungleichung).

Beweis

Wir zeigen die Dreiecksungleichung, für die anderen Aussagen siehe Aufgabe.

Zunächst gilt nach (5) für jede komplexe Zahl ${}u$ die Abschätzung ${}\operatorname {Re} \,{\left(u\right)}\leq \vert {u}\vert$. Daher ist

${}\operatorname {Re} \,{\left(z{\overline {w}}\right)}\leq \vert {z}\vert \vert {w}\vert \,,$

und somit ist

${}{\begin{aligned}\vert {z+w}\vert ^{2}&=(z+w)({\overline {z}}+{\overline {w}})\\&=z{\overline {z}}+z{\overline {w}}+w{\overline {z}}+w{\overline {w}}\\&=\vert {z}\vert ^{2}+2\operatorname {Re} \,{\left(z{\overline {w}}\right)}+\vert {w}\vert ^{2}\\&\leq \vert {z}\vert ^{2}+2\vert {z}\vert \vert {w}\vert +\vert {w}\vert ^{2}\\&=(\vert {z}\vert +\vert {w}\vert )^{2}.\end{aligned}}$

Durch Wurzelziehen ergibt sich die gewünschte Abschätzung.

$\Box$