Kongruente Zahl/Elliptische Kurve/Einführung/Textabschnitt

Beispiel

Wir betrachten die Gleichung

{}Y^{2}=X^{3}-25X=X(X-5)(X+5)\,

über ${}\mathbb {Q}$ , vergleiche Beispiel. Es gibt unmittelbar die drei rationalen Punkte ${}(0,0),\,(5,0),\,(-5,0)$ . Wir behaupten, dass auch der rationale Punkt

\left({\frac {1681}{144}},\,{\frac {62279}{1728}}\right)

auf der Kurve liegt. Dies beruht auf ${}{\frac {1681}{144}}={\frac {41^{2}}{12^{2}}}$ , ${}{\frac {1681}{144}}-5={\frac {1681}{144}}-{\frac {720}{144}}={\frac {961}{144}}={\frac {31^{2}}{12^{2}}}$ und ${}{\frac {1681}{144}}+5={\frac {1681}{144}}+{\frac {720}{144}}={\frac {2401}{144}}={\frac {49^{2}}{12^{2}}}$ und auf

{}{\frac {62279}{1728}}={\frac {31\cdot 41\cdot 49}{12^{3}}}\,.

Der rationale Punkt im vorstehenden Beispiel wurde mit Hilfe des Lemmas Fakt weiter unten gefunden.

Die Seitenlängen und der Flächeninhalt dieses rechtwinkligen Dreiecks sind ganzzahlig.

Definition

Eine natürliche Zahl ${}n\geq 1$ heißt kongruent, wenn sie als Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks auftritt, dessen Seitenlängen allesamt rationale Zahlen sind.

Die folgende Tabelle zeigt die kongruenten Zahlen echt unterhalb von ${}20$ zusammen mit einer Realisierung als Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Seiten. Die Eigenschaften ${}n=ab/2$ und ${}a^{2}+b^{2}=c^{2}$ kann man direkt überprüfen. Es ist aber keineswegs klar, wie man die geforderten rechtwinkligen Dreiecke findet, und wie man zeigen kann, dass eine Zahl ${}n$ nicht kongruent ist. Die nicht aufgeführten Zahlen echt unterhalb ${}20$ sind nicht kongruent.

${}n$	Kathete ${}a$	Kathete ${}b$	Hypotenuse ${}c$
${}5$	${}{\frac {3}{2}}$	${}{\frac {20}{3}}$	${}{\frac {41}{6}}$
${}6$	${}3$	${}4$	${}5$
${}7$	${}{\frac {35}{12}}$	${}{\frac {24}{5}}$	${}{\frac {337}{60}}$
${}13$	${}{\frac {780}{323}}$	${}{\frac {323}{30}}$	${}{\frac {106921}{9690}}$
${}14$	${}{\frac {8}{3}}$	${}{\frac {63}{6}}$	${}{\frac {65}{6}}$
${}15$	${}4$	${}{\frac {15}{2}}$	${}{\frac {17}{2}}$

Lemma

Es seien ${}a,b,c$ rationale Zahlen, die die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bilden, also

{}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,

erfüllen und derart, dass der Flächeninhalt

{}{\frac {ab}{2}}=n\,

eine natürliche Zahl ${}n$ ist.

Dann ist ${}\left({\frac {c^{2}}{4}},\,{\frac {(b^{2}-a^{2})c}{8}}\right)$ ein rationaler Punkt der elliptischen Kurve

${}y^{2}=x^{3}-n^{2}x\,.$

Beweis

Es ist einerseits

{}{\begin{aligned}y^{2}&={\frac {(b^{2}-a^{2})^{2}c^{2}}{64}}\\&={\frac {(b^{2}-a^{2})^{2}(a^{2}+b^{2})}{64}}\\&={\frac {a^{6}-a^{4}b^{2}-a^{2}b^{4}+b^{6}}{64}}\end{aligned}}

und andererseits ebenso

{}{\begin{aligned}x(x-n)(x+n)&=x^{3}-n^{2}x\\&=\left({\frac {c^{2}}{4}}\right)^{3}-n^{2}\left({\frac {c^{2}}{4}}\right)\\&={\frac {(a^{2}+b^{2})^{3}}{64}}-{\frac {a^{2}b^{2}}{4}}\cdot \left({\frac {a^{2}+b^{2}}{4}}\right)\\&={\frac {a^{6}+3a^{4}b^{2}+3a^{2}b^{4}+b^{6}}{64}}-{\frac {a^{4}b^{2}+a^{2}b^{4}}{16}}\\&={\frac {a^{6}-a^{4}b^{2}-a^{2}b^{4}+b^{6}}{64}}.\end{aligned}}

\Box

Eine gewisse Umkehrung ist die folgende Aussage.

Lemma

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}E$ die durch ${}y^{2}=x^{3}-n^{2}x$ gegebene elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q}$ . Es gebe einen rationalen Punkt ${}P=(x,y)\in E(\mathbb {Q} )$ mit der Eigenschaft, dass ${}x$ ein Quadrat (in ${}\mathbb {Q}$ ) ist und der Nenner von ${}x$ in gekürzter Darstellung gerade ist.

Dann ist ${}n$ eine kongruente Zahl.

Beweis

Es sei ${}x=u^{2}$ mit ${}u\in \mathbb {Q} _{+}$ . Mit ${}v=y/u$ gilt

{}v^{2}+n^{2}={\frac {y^{2}}{u^{2}}}+n^{2}={\frac {x^{3}-n^{2}x}{x}}+n^{2}=x^{2}-n^{2}+n^{2}=x^{2}\,.

Es liegt also ein rechtwinkliges Dreieck mit den rationalen Seitenlängen ${}v,n$ und ${}x$ vor. Es sei ${}r$ der Nenner von ${}u$ in gekürzter Darstellung, dieser ist gerade nach Voraussetzung. Wir multiplizieren die rationalen Zahlen ${}(v,n,x)$ mit ${}r^{2}$ . Dabei ist mit ${}r^{2}x$ auch ${}r^{2}v$ ganzzahlig und so entsteht ein primitives pythagoreisches Tripel, wobei ${}r^{2}n$ gerade ist. Nach Fakt gibt es daher natürliche Zahlen ${}s>t>0$ mit