Konstruierbare Zahlen/Quadratische Erweiterungen/Textabschnitt

Unter einer reell-quadratischen Körpererweiterung eines Körpers ${}K\subseteq \mathbb {R}$ verstehen wir eine quadratische Körpererweiterung ${}K\subseteq K'$ mit ${}K'\subseteq \mathbb {R}$, die sich also innerhalb der reellen Zahlen abspielt. Eine solche Körpererweiterung ist immer durch die Adjunktion einer Quadratwurzel einer positiven reellen Zahl ${}{\sqrt {c}}$ mit ${}c\in K$, ${}{\sqrt {c}}\notin K$ gegeben. Es gilt die Isomorphie

${}K[{\sqrt {c}}]\cong K[X]/{\left(X^{2}-c\right)}\,.$

Lemma

Es sei ${}K\subseteq \mathbb {R}$ ein Körper. Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt, der sich aus ${}K^{2}=K+K{\mathrm {i} }$ in einem Schritt konstruieren lässt.

Dann liegen die Koordinaten von ${}P$ in einer reell-quadratischen Körpererweiterung von ${}K$.

Beweis

Wir gehen die drei Möglichkeiten durch, einen Punkt aus ${}K^{2}$ in einem Schritt zu konstruieren. Es sei ${}P$ der Schnittpunkt von zwei verschiedenen Geraden ${}G_{1}$ und ${}G_{2}$, die über ${}K$ definiert sind. Es sei also ${}G_{1}={\left\{(x,y)\mid a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\right\}}$ und ${}G_{2}={\left\{(x,y)\mid a_{2}x+b_{2}d+c_{2}=0\right\}}$ mit ${}a_{1},b_{1},c_{1},a_{2},b_{2},c_{2}\in K$. Dann gehört der Schnittpunkt zu ${}K^{2}$ und seine Koordinaten gehören zu ${}K$.
Es sei ${}G$ eine über ${}K$ definierte Gerade und ${}C$ ein über ${}K$ definierter Kreis. Dann ist ${}G={\left\{(x,y)\mid ax+by+c=0\right\}}$ und ${}C={\left\{(x,y)\mid (x-r)^{2}+(y-s)^{2}=d\right\}}$ mit ${}a,b,c,r,s,d\in K$. Wir können annehmen, dass ${}b\neq 0$ ist, sodass die Geradengleichung auf die Form ${}y=ux+v$ gebracht werden kann. Einsetzen von dieser Gleichung in die Kreisgleichung ergibt eine quadratische Gleichung für ${}x$ über ${}K$. Die reellen Koordinaten der (eventuell komplexen) Lösungen davon liegen in einer quadratischen Erweiterung von ${}K$. Das gilt dann auch für die zugehörigen Lösungen für ${}y$.
Es seien nun ${}C_{1}$ und ${}C_{2}$ zwei über ${}K$ definierte verschiedene Kreise. Es seien ${}C_{1}={\left\{(x,y)\mid (x-r_{1})^{2}+(y-s_{1})^{2}-a_{1}=0\right\}}$ und ${}C_{2}={\left\{(x,y)\mid (x-r_{2})^{2}+(y-s_{2})^{2}-a_{2}=0\right\}}$ die Kreisgleichungen. Ein Schnittpunkt der beiden Kreise muss auch jede Linearkombination der beiden Gleichungen erfüllen. Wir betrachten die Differenz der beiden Gleichungen, die die Gestalt

${}x(-2r_{1}+2r_{2})+r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+y(-2s_{1}+2s_{2})+s_{1}^{2}-s_{2}^{2}-a_{1}+a_{2}=0\,$

besitzt. D.h. dies ist eine Geradengleichung, und die Schnittpunkte der beiden Kreise stimmen mit den Schnittpunkten eines Kreises mit dieser Geraden überein. Wir sind also wieder im zweiten Fall.

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Beispiel

Wir betrachten die beiden Kreise mit den Kreisgleichungen

$x^{2}+y^{2}=1{\text{ und }}(x-2)^{2}+y^{2}=3.$

Die Differenz der beiden Gleichungen ist

${}x^{2}-(x-2)^{2}+2=0\,$

bzw.

$4x=2{\text{ und somit }}x={\frac {1}{2}}.$

Die Schnittpunkte der beiden Kreise müssen also auch auf der durch ${}x={\frac {1}{2}}$ gegebenen Geraden liegen. Setzt man diese Geradenbedingung in die erste Kreisgleichung ein, so erhält man

${}y^{2}=1-x^{2}=1-{\frac {1}{4}}={\frac {3}{4}}\,,$

also

${}y=\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.$

Satz

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl. Dann ist ${}P$ eine konstruierbare Zahl genau dann,

wenn es eine Kette von reell-quadratischen Körpererweiterungen

${}\mathbb {Q} \subset K_{1}\subset K_{2}\subset \ldots \subset K_{n}\,$

derart ist, dass die Koordinaten von ${}P$ zu ${}K_{n}$ gehören.

Beweis

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare komplexe Zahl. D.h. es gibt eine Folge von Punkten ${}P_{1},\ldots ,P_{n}=P$ derart, dass ${}P_{i+1}$ aus den Vorgängerpunkten ${}\{0,1,P_{1},\ldots ,P_{i}\}$ in einem Schritt konstruierbar ist. Es sei ${}P_{i}=\left(a_{i},\,b_{i}\right)$ und es sei

${}K_{i}=\mathbb {Q} (a_{1},b_{1},\ldots ,a_{i},b_{i})\,$

der von den Koordinaten der Punkte erzeugte Unterkörper von ${}\mathbb {R}$. Nach Fakt liegt ${}K_{i+1}$ in einer reell-quadratischen Körpererweiterung von ${}K_{i}$ (und zwar ist ${}K_{i+1}=K_{i}$ oder ${}K_{i+1}$ ist eine reell-quadratische Körpererweiterung von ${}K_{i}$). Die Koordinaten von ${}P$ liegen also in ${}K_{n}$, und ${}K_{n}$ ist das Endglied in einer Folge von quadratischen Körpererweiterungen von ${}\mathbb {Q}$.
Es sei umgekehrt angenommen, dass die Koordinaten eines Punktes ${}P=(a,b)$ in einer Kette von reell-quadratischen Körpererweiterungen von ${}\mathbb {Q}$ liegen. Wir zeigen durch Induktion über die Länge der Körperkette, dass die Zahlen in einer solchen Kette aus quadratischen Körpererweiterungen konstruierbar sind. Bei ${}n=0$ ist ${}K_{0}=\mathbb {Q}$, und diese Zahlen sind konstruierbar. Es sei also schon gezeigt, dass alle Zahlen aus ${}K_{n}$ konstruierbar sind, und sei ${}K_{n}\subset K_{n+1}$ eine reell-quadratische Körpererweiterung. Nach Fakt ist ${}K_{n+1}=K_{n}[{\sqrt {c}}]$ mit einer positiven reellen Zahl ${}c\in K_{n}$. Nach Induktionsvoraussetzung ist ${}c$ konstruierbar und nach Fakt ist ${}{\sqrt {c}}$ konstruierbar. Daher ist auch jede Zahl ${}u+v{\sqrt {c}}$ mit ${}u,v\in K_{n}$, konstruierbar. Damit sind die Koordinaten von ${}P$ konstruierbar und somit ist nach Fakt auch ${}P$ selbst konstruierbar.

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