Kurs:Algebraische Kurven/4/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{. 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 6 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 12 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellevierzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Polynomring} {} in einer Variablen $X$ über einem kommutativen Ring $R$.
}{Eine \stichwort {irreduzible Komponente} {} einer \definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{} $V$.
}{Ein \stichwort {Radikal} {.}
}{Der
\stichwort {Singularitätsgrad} {}
zu einem
\definitionsverweis {numerischen Monoid}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein \stichwort {normaler} {} Integritätsbereich.
}{Eine \stichwort {quasiprojektive} {} Varietät. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Der Polynomring über $R$ besteht aus allen Polynomen
\mathbedtermdisp { P=a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_nX^n }
{ mit } { a_i \in R, \, i = 0 , \ldots , n }
{ } { n \in \N } { } { } { , }
und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^n \cdot X^m
}
{ \defeq} { X^{n+m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert ist.
}{Eine affin-algebraische Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt eine irreduzible Komponente von $V$, wenn sie
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist und wenn es keine irreduzible Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W
}
{ \subset }{ W'
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
${\mathfrak a}$ in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ heißt Radikal, wenn folgendes gilt: Falls
\mathl{f^n \in {\mathfrak a}}{} ist für ein
\mathl{n \in \N}{,} so ist bereits
\mathl{f \in {\mathfrak a}}{.}
}{Man nennt die Anzahl der Lücken, d.h. der natürlichen Zahlen
\mathl{\N \setminus M}{,} den Singularitätsgrad von $M$.
}{Ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
heißt normal, wenn er
\definitionsverweis {ganz-abgeschlossen}{}{}
in seinem
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
ist.
}{Unter einer quasiprojektiven Varietät versteht man eine offene Teilmenge einer
\definitionsverweis {projektiven Varietät}{}{}
zusammen mit der induzierten Zariski-Topologie und versehen mit der Strukturgarbe der algebraischen Funktionen.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der
\stichwort {Fundamentalsatz der Algebra} {.}}{Der Satz über die Beziehung des $K$-Spektrums von einem Restklassenring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]/ {\mathfrak a}}{} zum Nullstellengebilde $V( {\mathfrak a} )$.}{Der Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Jedes nichtkonstante Polynom
\mathl{P \in{\mathbb C}[X]}{} über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.}{Es sei $K$ ein Körper und sei $R$ eine endlich erzeugte kommutative $K$-Algebra mit $K$-Spektrum
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{.} Es sei
\mathl{R=K[X_1 , \ldots , X_n]/{\mathfrak a}}{} eine Restklassendarstellung von $R$ mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus
\maabbdisp {\varphi} {K[X_1 , \ldots , X_n]} {R
} {}
und dem Nullstellengebilde
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V( {\mathfrak a} )
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann stiftet die Abbildung
\maabbeledisp {} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} {P} { P \circ \varphi
} {}
eine Bijektion zwischen
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} und
\mathl{V( {\mathfrak a} )}{,} die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.}{Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und
\mathl{R \subseteq S}{} eine Ringerweiterung. Für ein Element
\mathl{x \in S}{} sind folgende Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungdrei{$x$ ist
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $R$.
}{Es gibt eine $R$-Unteralgebra $T$ von $S$ mit
\mathl{x \in T}{} und die ein endlicher $R$-Modul ist.
}{Es gibt einen endlichen $R$-Untermodul $M$ von $S$, der einen Nichtnullteiler aus $S$ enthält, mit
\mathl{xM \subseteq M}{.}}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.
}
{
Die Standardparabel ist durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der Einheitskreis ist durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+y^2
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Die Schnittpunkte müssen beide Gleichungen simultan erfüllen. Wir ersetzen mit der ersten Gleichung $x^2$ in der zweiten Gleichung und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2 +y-1
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ -1 \pm \sqrt{1+4} }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ -1 \pm \sqrt{5} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für das negative Vorzeichen ergibt sich keine Quadratwurzel, also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ -1 + \sqrt{5} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { \pm \sqrt{ { \frac{ -1 + \sqrt{5} }{ 2 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die beiden Schnittpunkte sind also
\mathkor {} {\left( - \sqrt{ { \frac{ -1 + \sqrt{5} }{ 2 } } } , \, { \frac{ -1 + \sqrt{5} }{ 2 } } \right)} {und} {\left( \sqrt{ { \frac{ -1 + \sqrt{5} }{ 2 } } } , \, { \frac{ -1 + \sqrt{5} }{ 2 } } \right)} {.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{} enthält.
}
{
Wenn $R$ ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Dann enthält $I$ ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist. Damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ = }{ xx^{-1}
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei umgekehrt $R$ ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann $R$ nicht der Nullring sein. Es sei nun $x$ ein von $0$ verschiedenes Element in $R$. Das von $x$ erzeugte
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
$Rx$ ist $\neq 0$ und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ \in }{ Rx
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Das bedeutet also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ = }{ xr
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so dass $x$ eine Einheit ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Bestimme für die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{0\}} { {\mathbb A}^{2}_{K} } {t} { \left( { \frac{ t^2+1 }{ t } } , \, { \frac{ t+1 }{ t } } \right) } {,} eine algebraische Gleichung der Bildkurve. Führe eine Probe durch.
}
{
Wir arbeiten mit den gleichgradigen Homogenisierungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H_1
}
{ = }{ T^2 +S^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H_2
}
{ = }{ S(T+S)
}
{ = }{ST+S^2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H_3
}
{ = }{ ST
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daraus ergeben sich sechs Monome vom Grad $4$
\zusatzklammer {bezogen auf $S,T$} {} {.}
Da es insgesamt nur $5$ Monome vom Grad $4$ gibt, muss dort eine lineare Abhängigkeit bestehen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F_1
}
{ =} {H_1H_1
}
{ =} { T^4+2S^2T^2+S^4
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F_2
}
{ =} {H_2H_2
}
{ =} { S^2T^2+2S^3T+ S^4
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F_3
}
{ =} {H_3H_3
}
{ =} { S^2T^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F_4
}
{ =} {H_1H_2
}
{ =} {S T^3+ S^2T^2 +S^3T +S^4
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F_5
}
{ =} {H_1H_3
}
{ =} { ST^3 + S^3T
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F_6
}
{ =} {H_2H_3
}
{ =} { S^2T^2+ S^3T
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $T^4$ nur in $F_1$ vorkommt, muss es eine lineare Relation zwischen
\mathl{F_2,F_3,F_4,F_5,F_6}{} geben. Da $F_3$ ein Monom ist, konzentrieren wir uns auf die relevanten Monome
\mathl{ST^3, S^3T,S^4}{} und
\mathl{F_2 ,F_4,F_5,F_6}{}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F_2-F_4+F_5-2 F_6
}
{ =} {-2 S^2T^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_2+2F_3-F_4+F_5-2F_6
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine lineare Relation. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { V^2 +2W^2 - UV + UW -2VW
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Polynom vom Grad $2$, das $0$ ergibt, wenn man die Variablen durch die
\mathl{H_1,H_2,H_3}{} ersetzt. Wir dividieren durch $W^2$ und erhalten
\mathdisp {{ \left( { \frac{ V }{ W } } \right) }^2 +2- { \frac{ U }{ W } } \cdot { \frac{ V }{ W } } + { \frac{ U }{ W } } -2 { \frac{ V }{ W } }} { . }
Wenn man darin
\mathl{H_1,H_2,H_3}{} einsetzt und dann $S$ durch $1$ ersetzt, kommt nach wir vor $0$ raus. Die entstehenden Ersetzungen für $U/W$ bzw. $V/W$ sind aber die ursprünglichen rationalen Funktionen. Ein annullierendes Polynom ist demnach
\mathdisp {Y^2 -XY +X-2Y+2} { . }
Als Probe betrachten wir
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( { \frac{ t+1 }{ t } } \right) }^2 - { \frac{ t^2+1 }{ t } } \cdot { \frac{ t+1 }{ t } } + { \frac{ t^2+1 }{ t } } -2 { \frac{ t+1 }{ t } } +2
}
{ =} { { \frac{ t^2+2t+1 - t^3-t^2-t-1 +t^3+t -2t^2-2t+2t^2 }{ t^2 } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Modul}{}{}
über dem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$. Es seien $s_1 , \ldots , s_k \in R$ und
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum_{i = 1}^k s_i \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq i \leq k,\, 1 \leq j \leq n } s_i \cdot v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Wir beweisen die Aussage durch eine Doppelinduktion über
\mathl{k,n \geq 1}{.} Die Fälle
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(k,n)
}
{ =} { (1,1),\, (1,2),\, (2,1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sind unmittelbar klar bzw. folgen direkt aus den Modulaxiomen.
Die Aussage für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und beliebige $n$ beweisen für durch Induktion nach $n$, wobei der Induktionsanfang durch die Vorbemerkung gesichert ist. Es sei die Aussage für ein $n$ schon bewiesen, und seien
\mathl{n+1}{} Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n, v_{n+1} \in V}{} gegeben. Dann ist unter Verwendung des Falles
\mathl{(1,2)}{} und der Induktionsvoraussetzung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ s { \left( \sum_{j = 1}^{n+1} v_j \right) }
}
{ =} { s { \left( \sum_{j = 1}^{n} v_j + v_{n+1} \right) }
}
{ =} { s { \left( \sum_{j = 1}^{n} v_j \right) } + s v_{n+1}
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq j \leq n } s \cdot v_j + s v_{n+1}
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq j \leq n +1} s \cdot v_j
}
}
{}
{}{.}
Wir betrachten nun die Aussage für ein festes $k$ und beliebige $n$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist diese Aussage bereits bewiesen. Es sei diese Aussage nun für ein festes $k$ schon bewiesen Es seien Skalare $s_1 , \ldots , s_k ,s_{k+1}\in R$ und Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{} gegeben. Dann ist unter Verwendung der Fälle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (k,n)
}
{ = }{ (2 ,1 ), (1,n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Induktionsvoraussetzung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( \sum_{i = 1}^{ k+1} s_i \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) }
}
{ =} { { \left( \sum_{i = 1}^{ k} s_i + s_{k+1} \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) }
}
{ =} { { \left( \sum_{i = 1}^{ k} s_i \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) } + s_{k+1} \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq i \leq k,\, 1 \leq j \leq n } s_i \cdot v_j + \sum_{j = 1}^n s_{k+1} \cdot v_j
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq i \leq k+1,\, 1 \leq j \leq n } s_i \cdot v_j
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es sei $A$ eine
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$\Z$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ \subseteq }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{A/ {\mathfrak m}}{} ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
ist.
}
{
Wir betrachten die zusammengesetzte Abbildung
\mathdisp {\Z \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} A \longrightarrow A/ {\mathfrak m} = L} { , }
die ebenfalls vom endlichen Typ ist. Das Urbild $\varphi^ {-1}({\mathfrak m})$ ist ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
in $\Z$, also gleich $(0)$ oder gleich $(p)$ mit einer Primzahl $p$. Im ersten Fall würde man eine Faktorisierung
\mathdisp {\Z \longrightarrow \Q \longrightarrow L} { }
haben. Nach
dem Hilbertscher Nullstellensatz
ist $L$
\definitionsverweis {endlich}{}{}
über $\Q$ und nach
Lemma 10.5 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))
wäre dann $\Q$ auch endlich erzeugt über $\Z$, was aber nicht der Fall ist. Der erste Fall ist also ausgeschlossen. Es liegt also der zweite Fall vor, und man hat eine Faktorisierung
\mathdisp {\Z \longrightarrow \Z/(p) \longrightarrow L} { . }
Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz ist somit $L$ endlich über dem endlichen Körper $\Z/(p)$ und damit selbst endlich.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
mit einem Element
\mathl{n \in R}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n^2
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $R$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} {R/(n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es zu jedem
\definitionsverweis {idempotenten Element}{}{}
$e$ aus $S$ ein idempotentes Element aus $R$ gibt, dessen Restklasse gleich $e$ ist.
}
{
Es sei $f \in R$ ein Urbild von $e$. Da $e$ idempotent ist, wird
\mathl{f^2-f}{} auf $0$ abgebildet, also ist
\mathl{f^2-f =c \in (n)}{.} Insbesondere ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c^2
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g
}
{ =} {f+c-2cf
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
das ebenfalls auf $e$ abgebildet wird. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{g^2
}
{ =} { { \left( f+c-2cf \right) }^2
}
{ =} { f^2 +c^2 +4c^2f^2 +2cf -4cf^2- 4c^2f
}
{ =} { f^2 +2cf -4cf^2
}
{ =} { f+c +2cf -4c (f+c)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { f+c+2cf -4cf
}
{ =} { f+c-2cf
}
{ =} {g
}
{ } {}
}
{}{,}
also ist ein idempotentes Urbild von $e$ gefunden.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$R=K[X,Y]$ der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
in zwei Variablen, $S \subseteq R$ ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{}
und $F \in R$ ein Polynom. Zeige, dass es eine eindeutige
$R$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (R/(F))_S
}
{ \cong} { (R_S)/(F)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{
Alle Homomorphismen sind im Folgenden
$R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{}
und durch ihre Eigenschaften eindeutig festgelegt. Es gibt zunächst den Homomorphismus $R \rightarrow R_S$ und daher einen induzierten Homomorphismus
\maabbdisp {} { R/(F) } { R_S/(F)
} {.}
Da das Bild von $S$ in $R/(F)$ in $R_S/(F)$ zu Einheiten werden, induziert dies einen Homomorphismus
\maabbdisp {} {(R/(F))_S } {R_S/(F)
} {.}
Dabei geht explizit ein Element $\frac{\bar{r} }{\bar{s} }$ auf $\overline{ (\frac{r}{s}) }$. Zur Surjektivität: Ein Element rechts wird repräsentiert durch $r/s$ mit $s \in S$, und das kommt von $\frac{\bar{r} }{\bar{s} }$ her. Zur Injektivität sei angenommen, dass $\frac{\bar{r} }{\bar{s} }$ auf $0$ geht. Dann ist $r/s \in (F)R_S$, also $r/s=F a/t$ mit $a \in R,\, t \in S$. Die Gleichheit bedeutet zurückübersetzt nach $R$, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{tr
}
{ =} { s Fa
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. D.h. dass $tr=0$ in $R/(F)$ ist und wegen $t \in S$ folgt daraus, dass $\bar{r} =0$ in $(R/(F))_S$ ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+1+2)}
{
Wir betrachten zu
\mathl{n \in \Z}{} den
\definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {\varphi_n} {\Z} {\Z
} {b} {nb
} {.}
\aufzaehlungdrei{Beschreibe die induzierte Spektrumsabbildung zu einem Körper $K$.
}{Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $K$
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{}
die Spektrumsabbildung
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.
}{Wie viele Urbilder hat die Spektrumsabbildung bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in jedem Punkt?
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[\Z] \right) }
}
{ =} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[X,X^{-1} ] \right) }
}
{ =} { K^\times
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Spektrumabbildung ist
\maabbeledisp {} {K^\times } {K^\times
} {x} {x^n
} {.}
}{Das Urbild zu
\mathl{y \in K^\times}{} ist
\mathdisp {{ \left\{ x \in K^\times \mid x^n = y \right\} }} { . }
Bei $K$ algebraisch abgeschlossen und $n>0$ besitzt eine solche Gleichung stets eine Lösung in $K$, die bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht $0$ sein kann. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man die Situation invertieren.
}{Die Anzahl der Urbilder ist stets gleich $\betrag { n }$. Aufgrund des Isomorphismus
\maabbeledisp {} {K^\times} { K^\times
} {x} {x^{-1}
} {,}
kann man $n$ als positiv annehmen. Mehr als $n$ Lösungen kann es wegen
Satz Anhang 1.5 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))
nicht geben. Es seien
\mathl{\zeta_1 , \ldots , \zeta_n}{} die $n$-ten komplexen Einheitswurzeln. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^n
}
{ = }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\zeta x)^n
}
{ =} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit gibt es die $n$
\zusatzklammer {verschiedenen, da $x \neq 0$} {} {}
Lösungen
\mathl{\zeta_1x , \ldots , \zeta_n x}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die Multiplizität und die Tangenten im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} der ebenen algebraischen Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V { \left( Y^4+X^3+3XY^2+2X^2Y \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Die Multiplizität ist der Grad der homogenen Komponenten vom kleinsten Grad, also $3$. Zur Bestimmung der Tangenten muss man $X^3+3XY^2+2X^2Y$ in Linearfaktoren zerlegen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^3+3XY^2+2X^2Y
}
{ =} { X( X^2 +3Y^2+2XY)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ X^2 +3Y^2+2XY
}
{ =} { (X+Y)^2 -Y^2 +3Y^2
}
{ =} { (X+Y)^2 + 2Y^2
}
{ =} { (X+Y + \sqrt{2}{ \mathrm i} Y) (X+Y - \sqrt{2}{ \mathrm i} Y)
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Als Tangenten ergeben sich also $X=0$
\zusatzklammer {$Y$-Achse} {} {} und $X= -(1 + \sqrt{2} { \mathrm i} )Y$ und $X=(-1 + \sqrt{2} { \mathrm i} )Y$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (2+1+1)}
{
Es sei
\mathl{e \in \N_+}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \defeq }{ \{0\} \cup \N_{ \geq e}
}
{ \subseteq }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme
\mathl{nM_+}{} für
\mathl{n \in \N_+}{.}
}{Bestimme
\mathl{{ \# \left( M \setminus nM_+ \right) }}{.}
}{Es sei $K$ ein Körper und setze
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[M]_{ {\mathfrak m} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (M_+)
}
{ \subseteq }{ K[M]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme
\mathl{\dim_{ K } { \left( R/ {\mathfrak m}^n \right) }}{.}
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ nM_+
}
{ =} { \N_{\geq ne}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Zugehörigkeit
\mathl{k \in nM_+}{} bedeutet, dass es $n$ Elemente
\mathl{m_1 , \ldots , m_n \in M_+=\N_{\geq e}}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{k
}
{ =} {m_1 + \cdots + m_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n_j
}
{ \geq }{e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \geq }{ ne
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \geq }{ ne
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, so kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{k
}
{ =} { (n-1)e + m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \geq }{e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben, also ist
\mathl{k \in nM_+}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \setminus nM_+
}
{ =} { M \setminus \N_{\geq ne}
}
{ =} { \{0,1 , \ldots , ne -1\}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
diese Menge besitzt somit $ne$ Elemente.
}{Wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ K[M]_{\mathfrak m}/ {\mathfrak m}^n
}
{ \cong} { K[M]/{\mathfrak m}^n
}
{ =} { K[M]/(n M_+)
}
{ =} { K[M]/( \N_{\geq e n} )
}
{ =} { K \langle T^m,\, 0 \leq m < en\rangle
}
}
{}
{}{}
ist die $K$-Dimension von $K[M]_{\mathfrak m}/ {\mathfrak m}^n$ ebenfalls gleich $ne$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Beweise den Satz über Einheiten im Potenzreihenring
\mathl{K[ \![T]\! ]}{.}
}
{
Die angegebene Bedingung ist notwendig, da die Abbildung
\maabbeledisp {} {K[ \![T]\! ] } { K
} {F} {a_0
} {,}
die eine Potenzreihe $F$ auf ihren konstanten Term schickt, ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
ist, siehe
Aufgabe *****.
Für die Umkehrung müssen wir eine Potenzreihe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ {\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } T ^{ j }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ FG
}
{ =} { { \left( {\sum }_{ i=0 }^{ \infty } a_{ i } T ^{ i } \right) } { \left( {\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } T ^{ j } \right) }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
angeben. Für $b_0$ ergibt sich daraus die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_0b_0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_0
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine eindeutige Lösung besitzt, nämlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_0
}
{ = }{ a_0^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nehmen wir induktiv an, dass die Koeffizienten $b_j$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ < }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schon konstruiert seien, und zwar derart, dass sämtliche Koeffizienten
\mathbed {c_k} {}
{1 \leq k<n} {}
{} {} {} {,} der Produktreihe $FG$ gleich $0$ sind. Für den $n$-ten Koeffizienten ergibt sich die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { c_n
}
{ =} { a_0b_n+ a_1b_{n-1} + \cdots + a_{n-1}b_1 + a_nb_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei sind bis auf $b_n$ alle Werte schon festgelegt, und wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_0
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich eine eindeutige Lösung für $b_n$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{12}
{
Beweise den \stichwort {Satz von Bezout} {.}
}
{
Der Durchschnitt
\mathl{C \cap D}{} besteht nur aus endlich vielen Punkten. Wir können daher
nach Aufgabe *****
annehmen, dass alle Schnittpunkte in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ = }{D_+(Z)
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegen. Es seien \mathkon { \tilde{F} } { und } { \tilde{G} }{ } die inhomogenen Polynome aus
\mathl{K[X,Y]}{,} die die affinen Kurven \mathkon { C \cap {\mathbb A}^{2}_{K} } { und } { D \cap {\mathbb A}^{2}_{K} }{ } beschreiben. Damit ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{\sum_{P \in {\mathbb P}^{2}_{K} } \operatorname{mult} _{ {P} } ( F, G )
}
{ =} { \sum_{ P \in {\mathbb A}^{2}_{K} } \operatorname{mult} _{ {P} } ( \tilde{F}, \tilde{G} )
}
{ =} { \sum_{ P \in {\mathbb A}^{2}_{K} } \dim_{ K } { \left( K[X,Y]_{{\mathfrak m}_P}/(\tilde{F},\tilde{G}) \right) }
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( K[X,Y]/ (\tilde{F},\tilde{G}) \right) }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Dabei beruht die letzte Gleichung auf
Satz 26.11 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)).
Wir wollen die $K$-Dimension dieses inhomogenen Restklassenrings mit der Dimension einer Stufe des homogenen Restklassenrings
\mathl{(K[X,Y,Z]/(F,G))_\ell}{} in Verbindung bringen. Von letzterer wissen wir aufgrund von
Lemma 30.1 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)),
dass sie für $\ell$ hinreichend groß gleich $mn$ ist.
Wir wählen eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{V_1 , \ldots , V_{mn}}{} von
\mathl{(K[X,Y,Z]/(F,G))_\ell}{}
\zusatzklammer {$\ell$ hinreichend groß und fixiert} {} {}
und behaupten, dass die Dehomogenisierungen
\mathl{v_i=V_i(X,Y,1)}{} eine Basis von
\mathl{K[X,Y]/(\tilde{F},\tilde{G})}{} bilden. Dazu sei
\mathl{q \in K[X,Y]}{} beliebig vorgegeben mit Homogenisierung
\mathl{Q \in K[X,Y,Z]}{} vom Grad $d$. Es sei $e$ so gewählt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d+e
}
{ \geq }{ \ell
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Aufgrund von
Lemma 30.2 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))
sind die Abbildungen
\zusatzklammer {\mathlk{\lambda \geq 1}{}} {} {}
\maabbeledisp {} {(K[X,Y,Z]/(F,G))_\ell} {(K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell+\lambda}
} {H} {Z^{\lambda} H
} {,}
injektiv und daher auch bijektiv, da die Dimensionen übereinstimmen. Insbesondere bilden die
\mathbed {Z^\lambda V_i} {}
{i=1 , \ldots , mn} {}
{} {} {} {,}
eine Basis von
\mathl{{ \left( K[X,Y,Z]/(F,G) \right) }_{\ell + \lambda}}{.} Es gibt dann also eine Darstellung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z^{e}Q
}
{ = }{\sum_{i = 1}^{mn} a_i Z^{d+e-\ell} V_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Durch Dehomogenisieren ergibt sich daraus sofort eine Darstellung für $q$.
Zum Nachweis der
\definitionsverweis {linearen Unabhängigkeit}{}{}
sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i=1}^{mn} a_i v_i
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
angenommen, so dass in
\mathl{K[X,Y]}{} eine Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^{mn} a_i v_i
}
{ =} { \tilde{ A } \tilde{ F } + \tilde{ B } \tilde{ G }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt. Dabei setzen wir $\tilde{ A } , \tilde{ B }$ als Dehomogenisierung von zwei homogenen Polynomen
\mathl{A,B \in K[X,Y,Z]}{} an. Somit liegen zwei homogene Ausdrücke
\zusatzgs {nämlich \mathlk{\sum_{i=1}^{mn} a_iV_i}{} und \mathlk{AF+BG}{}} {}
vor, deren Dehomogenisierungen übereinstimmen. Durch geeignete Wahl von
\mathl{r,s,t}{} können wir annehmen, dass
\mathkor {} {\sum_{i=1}^{mn} a_i Z^rV_i} {und} {Z^sAF +Z^t BG} {}
\zusatzklammer {homogen sind und} {} {}
den gleichen Grad besitzen. Nach
Aufgabe 6.17 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))
ist dann bereits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^{mn} a_i Z^rV_i
}
{ =} { Z^sAF +Z^t BG
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Gleichung bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^{mn} a_i Z^rV_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{K[X,Y,Z]/(F,G)}{,} woraus sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt.
}