Kurs:Algebraische Kurven/4/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 3 3 6 5 5 4 4 4 3 4 5 12 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Polynomring in einer Variablen über einem kommutativen Ring .
  2. Eine irreduzible Komponente einer affin-algebraischen Menge .
  3. Ein Radikal.
  4. Der Singularitätsgrad zu einem numerischen Monoid .
  5. Ein normaler Integritätsbereich.
  6. Eine quasiprojektive Varietät.


Lösung

  1. Der Polynomring über besteht aus allen Polynomen
    mit ,

    und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

    definiert ist.

  2. Eine affin-algebraische Teilmenge heißt eine irreduzible Komponente von , wenn sie irreduzibel ist und wenn es keine irreduzible Teilmenge gibt.
  3. Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt Radikal, wenn folgendes gilt: Falls ist für ein , so ist bereits .
  4. Man nennt die Anzahl der Lücken, d.h. der natürlichen Zahlen , den Singularitätsgrad von .
  5. Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.
  6. Unter einer quasiprojektiven Varietät versteht man eine offene Teilmenge einer projektiven Varietät zusammen mit der induzierten Zariski-Topologie und versehen mit der Strukturgarbe der algebraischen Funktionen.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Fundamentalsatz der Algebra.
  2. Der Satz über die Beziehung des -Spektrums von einem Restklassenring zum Nullstellengebilde .
  3. Der Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.


Lösung

  1. Jedes nichtkonstante Polynom über den [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|komplexen Zahlen]] besitzt eine Nullstelle.
  2. Sei ein Körper und sei eine endlich erzeugte kommutative -Algebra mit -Spektrum . Es sei eine Restklassendarstellung von mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus

    und dem [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|Nullstellengebilde]] . Dann stiftet die Abbildung

    eine Bijektion zwischen und , die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus

    ist.
  3. Seien und [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|kommutative Ringe]] und eine Ringerweiterung. Für ein Element sind folgende Aussagen äquivalent.
    1. ist ganz über .
    2. Es gibt eine -Unteralgebra von mit und die ein endlicher -Modul ist.
    3. Es gibt einen endlichen -Untermodul von , der einen Nichtnullteiler aus enthält, mit .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.


Lösung

Die Standardparabel ist durch die Gleichung

und der Einheitskreis ist durch die Gleichung

gegeben. Die Schnittpunkte müssen beide Gleichungen simultan erfüllen. Wir ersetzen mit der ersten Gleichung in der zweiten Gleichung und erhalten

Also ist

Für das negative Vorzeichen ergibt sich keine Quadratwurzel, also ist

und

Die beiden Schnittpunkte sind also und .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.


Lösung

Wenn ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Sei ein von verschiedenes Ideal in . Dann enthält ein Element , das eine Einheit ist. Damit ist und damit .

Sei umgekehrt ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann nicht der Nullring sein. Sei nun ein von verschiedenes Element in . Das von erzeugte Hauptideal ist und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass ist. Das bedeutet also für ein , so dass eine Einheit ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme für die Abbildung

eine algebraische Gleichung der Bildkurve. Führe eine Probe durch.


Lösung

Wir arbeiten mit den gleichgradigen Homogenisierungen , und . Daraus ergeben sich sechs Monome vom Grad (bezogen auf ). Da es insgesamt nur Monome vom Grad gibt, muss dort eine lineare Abhängigkeit bestehen. Es ist

und

Da nur in vorkommt, muss es eine lineare Relation zwischen geben. Da ein Monom ist, konzentrieren wir uns auf die relvanten Monome und Es ist

Also ist

eine lineare Relation. Somit ist

ein Polynom vom Grad , das ergibt, wenn man die Variablen durch die ersetzt. Wir dividieren durch und erhalten

Wenn man darin einsetzt und dann durch ersetzt, kommt nach wir vor raus. Die entstehenden Ersetzungen für bzw. sind aber die ursprünglichen rationalen Funktionen. Ein annullierendes Polynom ist demnach

Als Probe betrachten wir


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Modul über dem kommutativen Ring . Es seien und . Zeige


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch eine Doppelinduktion über . Die Fälle

sind unmittelbar klar bzw. folgen direkt aus den Modulaxiomen.

Die Aussage für und beliebige beweisen für durch Induktion nach , wobei der Induktionsanfang durch die Vorbemerkung gesichert ist. Sei die Aussage für ein schon bewiesen, und seien Vektoren gegeben. Dann ist unter Verwendung des Falles und der Induktionsvoraussetzung

Wir betrachten nun die Aussage für ein festes und beliebige . Für ist diese Aussage bereits bewiesen. Sei diese Aussage nun für ein festes schon bewiesen Es seien Skalare und Vektoren gegeben. Dann ist unter Verwendung der Fälle und der Induktionsvoraussetzung


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine endlich erzeugte -Algebra und es sei ein maximales Ideal. Zeige, dass der Restklassenring ein endlicher Körper ist.


Lösung

Wir betrachten die zusammengesetzte Abbildung

die ebenfalls vom endlichen Typ ist. Das Urbild ist ein Primideal in , also gleich oder gleich mit einer Primzahl . Im ersten Fall würde man eine Faktorisierung

haben. Nach dem Hilbertscher Nullstellensatz ist endlich über und nach Lemma 10.5 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) wäre dann auch endlich erzeugt über , was aber nicht der Fall ist. Der erste Fall ist also ausgeschlossen. Es liegt also der zweite Fall vor, und man hat eine Faktorisierung

Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz ist somit endlich über dem endlichen Körper und damit selbst endlich.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring mit einem Element mit in und sei

Zeige, dass es zu jedem idempotenten Element aus ein idempotentes Element aus gibt, dessen Restklasse gleich ist.


Lösung

Es sei ein Urbild von . Da idempotent ist, wird auf abgebildet, also ist . Insbesondere ist . Wir betrachten

das ebenfalls auf abgebildet wird. Es ist

also ist ein idempotentes Urbild von gefunden.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper, der Polynomring in zwei Variablen, ein multiplikatives System und ein Polynom. Zeige, dass es eine eindeutige -Algebraisomorphie

gibt.


Lösung

Alle Homomorphismen sind im Folgenden -Algebrahomomorphismen und durch ihre Eigenschaften eindeutig festgelegt. Es gibt zunächst den Homomorphismus und daher einen induzierten Homomorphismus

Da das Bild von in in zu Einheiten werden, induziert dies einen Homomorphismus

Dabei geht explizit ein Element auf . Zur Surjektivität: Ein Element rechts wird repräsentiert durch mit , und das kommt von her. Zur Injektivität sei angenommen, dass auf geht. Dann ist , also mit . Die Gleichheit bedeutet zurückübersetzt nach , dass

gilt. D.h. dass in ist und wegen folgt daraus, dass in ist.


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Wir betrachten zu den Monoidhomomorphismus

  1. Beschreibe die induzierte Spektrumsabbildung zu einem Körper .
  2. Zeige, dass bei und algebraisch abgeschlossen die Spektrumsabbildung surjektiv ist.
  3. Wie viele Urbilder hat die Spektrumsabbildung bei und in jedem Punkt?


Lösung

  1. Es ist

    und die Spektrumabbildung ist

  2. Das Urbild zu ist

    Bei algebraisch abgeschlossen und besitzt eine solche Gleichung stets eine Lösung in , die bei nicht sein kann. Bei kann man die Situation invertieren.

  3. Die Anzahl der Urbilder ist stets gleich . Aufgrund des Isomorphismus

    kann man als positiv annehmen. Mehr als Lösungen kann es wegen Satz Anhang 1.5 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) nicht geben. Es seien die -ten komplexen Einheitswurzeln. Wenn ist, so ist auch

    und somit gibt es die (verschiedenen, da ) Lösungen .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten im Nullpunkt der ebenen algebraischen Kurve


Lösung

Die Multiplizität ist der Grad der homogenen Komponenten vom kleinsten Grad, also . Zur Bestimmung der Tangenten muss man in Linearfaktoren zerlegen. Es ist

Dabei ist

Als Tangenten ergeben sich also (-Achse) und und .


Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

Sei und sei .

  1. Bestimme für .
  2. Bestimme .
  3. Es sei ein Körper und setze mit . Bestimme .


Lösung

  1. Wir behaupten

    Die Zugehörigkeit bedeutet, dass es Elemente mit

    Wegen ist . Wenn umgekehrt gilt, so kann man

    mit schreiben, also ist .

  2. Es ist

    diese Menge besitzt somit Elemente.

  3. Wegen
    ist die -Dimension von ebenfalls gleich .


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über Einheiten im Potenzreihenring .


Lösung

Die angegebene Bedingung ist notwendig, da die Abbildung

die eine Potenzreihe auf ihren konstanten Term schickt, ein Ringhomomorphismus ist. Für die Umkehrung müssen wir eine Potenzreihe mit

angeben. Für ergibt sich daraus die Bedingung , die wegen eine eindeutige Lösung besitzt, nämlich . Nehmen wir induktiv an, dass die Koeffizienten für schon konstruiert seien, und zwar derart, dass sämtliche Koeffizienten , , der Produktreihe gleich sind. Für den -ten Koeffizienten ergibt sich die Bedingung

Dabei sind bis auf alle Werte festgelegt, und wegen ergibt sich eine eindeutige Lösung für .


Aufgabe (12 Punkte)

Beweise den Satz von Bezout.


Lösung

Der Durchschnitt besteht nur aus endlich vielen Punkten. Wir können daher nach Aufgabe ***** annehmen, dass alle Schnittpunkte in liegen. Es seien und die inhomogenen Polynome aus , die die affinen Kurven und beschreiben. Damit ist

Dabei beruht die letzte Gleichung auf Satz 26.11 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)). Wir wollen die -Dimension dieses inhomogenen Restklassenrings mit der Dimension einer Stufe des homogenen Restklassenrings in Verbindung bringen. Von letzterer wissen wir aufgrund von Lemma 30.1 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)), dass sie für hinreichend groß gleich ist.

Wir wählen eine Basis von ( hinreichend groß und fixiert) und behaupten, dass die Dehomogenisierungen eine Basis von bilden. Dazu sei beliebig vorgegeben mit Homogenisierung vom Grad . Sei so gewählt, dass ist. Aufgrund von Lemma 30.2 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) sind die Abbildungen ()

injektiv und daher auch bijektiv, da die Dimensionen übereinstimmen. Insbesondere bilden die , , eine Basis von . Es gibt dann also eine Darstellung . Durch Dehomogenisieren ergibt sich daraus sofort eine Darstellung für .

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei

angenommen, so dass in eine Gleichung

vorliegt. Dabei setzen wir als Dehomogenisierung von zwei homogenen Polynomen an. Somit liegen zwei homogene Ausdrücke - nämlich und - vor, deren Dehomogenisierungen übereinstimmen. Durch geeignete Wahl von können wir annehmen, dass und (homogen sind und) den gleichen Grad besitzen. Nach Aufgabe 6.17 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) ist dann bereits

Diese Gleichung bedeutet in , woraus sich ergibt.