Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 26

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Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe für jedes ein Beispiel von zwei aus der Schule bekannten ebenen algebraischen Kurven, die sich in genau einem Punkt mit Schnittmultiplizität schneiden.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine monomiale ebene Kurven (mit teilerfremd) gegeben. Berechne die Schnittmultiplizität der Kurve mit einer jeden Geraden durch den Nullpunkt.


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne die Schnittmultiplizität der beiden monomialen Kurven

im Nullpunkt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und seien und ebene algebraische Kurven. Es sei ein glatter Punkt, so dass der lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist. Zeige, dass die Beziehung

gilt, wobei die Ordnung im Bewertungsring bezeichnet.


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Parabel und den Kreis mit Mittelpunkt und Radius . Bestimme die Schnittpunkte von und und die jeweiligen Schnittmultiplizitäten.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für den Restklassenring (für jedes ) eine Beschreibung als Produktring von lokalen Ringen. Man gebe dabei die -Dimensionen der beteiligten Ringe an.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Punkt in der affinen Ebene und und zueinander senkrechte Geraden durch . Es sei , , eine ebene algebraische Kurve. Beschreibe explizit eine Variablentransformation (einen Koordinatenwechsel) derart, dass in den neuen Koordinaten der Nullpunkt wird und die Geraden zum Achsenkreuz werden. Wie lautet die Kurvengleichung in den neuen Koordinaten?


Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die durch gegebene Kurve mit dem Punkt . Finde eine Koordinatentransformation derart, dass zum Punkt wird und die Tangente an zur -Achse.


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die durch gegebene Kurve im Punkt in den in Aufgabe ***** gefundenen Koordinaten. Bestimme die Potenzreihe für die Kurve in entlang der Tangente.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und der Potenzreihenring. Zeige, dass es in keine Quadratwurzel für gibt. Zeige ferner, dass für das Element eine Quadratwurzel in besitzt, und gebe die ersten fünf Koeffizienten von einer Quadratwurzel davon an.


Die folgende Aufgabe wurde schonmal gestellt.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Körper und eine endlichdimensionale, reduzierte -Algebra. Zeige, dass dann ein endliches direktes Produkt von endlichen Körpererweiterungen von ist.


Die folgende Aufgabe ist vermutlich schwieriger.

Aufgabe (8 Punkte)

Es seien zwei verschiedene monomiale ebene Kurven und gegeben (mit und teilerfremd). Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven im Nullpunkt.