Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 7

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die Nullstellenmenge ${}V(F)$ nicht der gesamte affine Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ ist.

(Aus dieser Aufgabe folgt auch Aufgabe 3.8.)

Aufgabe (9 Punkte)

Betrachte die Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,(u,v)\longmapsto (u^{2}+uv,v-u^{2})=(x,y).$

Bestimme zu den drei folgenden Scharen aus parallelen Geraden die Bildkurven der Geraden unter dieser Abbildung (man gebe sowohl eine Parametrisierung als auch eine Kurvengleichung).

1. Die zur ${}u$-Achse parallelen Geraden,
2. die zur ${}v$-Achse parallelen Geraden,
3. die zur Antidiagonalen parallelen Geraden.

Bestimme zu jeder Schar, ob sich die Bildkurven überschneiden.

Aufgabe * (3 Punkte)

Betrachte die beiden Kreise

$X^{2}+Y^{2}=1\,\,{\text{ und }}\,\,4X^{2}+3Y^{2}=9.$

Zeige, dass die beiden Kreise über ${}\mathbb {R}$ affin-linear äquivalent sind, aber nicht über ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe (6 Punkte)

Finde für die verschiedenen reellen Quadriken eine Realisierung als Kegelschnitt, also als Schnitt einer Ebene mit dem Kegel ${}V(x^{2}+y^{2}-z^{2})$, oder beweise, dass es eine solche Realisierung nicht gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Transformiere die Quadrik

$2x^{2}+xy-3y^{2}+5x-y+3$

auf eine reelle Standardgestalt.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die beiden Restklassenringe

$R=\mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)\,\,{\text{ und }}\,\,S=\mathbb {R} [X,Y]/(XY-1).$

Zeige: ${}S$ ist ein Hauptidealbereich, ${}R$ hingegen nicht.

(Das sind die Ringe, die zum reellen Kreis und zur reellen Hyperbel gehören.) Tipp: Man betrachte für ${}R$ das Ideal ${}(X-1,Y)$.

Aufgabe (2 Punkte)

Parametrisiere die durch

${}F=2x^{2}-xy+3y^{2}+x-5y\,$

definierte Quadrik mit Hilfe des Nullpunktes und der Geraden ${}V(y-1)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Parametrisiere die durch

${}F=x^{2}+2xy-y^{2}+x-3y+4\,$

definierte Quadrik ${}C=V(F)$ mit Hilfe des Punktes ${}(1,2)\in C$ und der ${}y$-Achse. Führe keine Variablentransformation durch.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die durch

${}C=V(X^{d+1}-Y^{d})\,$

definierte algebraische Kurve ${}C$ ($d\geq 1$). Zeige, dass man mit dem Nullpunkt und der Geraden ${}V(X-1)$ eine Parametrisierung von ${}C$ erhält mit der im Beweis zu Satz 7.6 beschriebenen Methode.

Aufgabe (6 Punkte)

Sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein irreduzibles Polynom. Zeige, dass die Kurve ${}V(F)$ genau dann rational ist, wenn es einen injektiven ${}K$-Algebrahomomorphismus

$Q(K[X,Y]/(F))\longrightarrow K(T)$

gibt.

(Hier steht links der Quotientenkörper und rechts der rationale Funktionenkörper.)