Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Vorlesung 10/latex
\setcounter{section}{10}
\zwischenueberschrift{Noethersche Moduln}
Wir wollen zeigen, das für einen noetherschen Ring $R$ und einen endlich erzeugten $R$-Modul jeder $R$-Untermodul wieder endlich erzeugt ist. Solche Moduln nennt man noethersch.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Dann heißt $M$ \definitionswort {noethersch}{,} wenn jeder $R$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{} von $M$ \definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{} ist.
}
Für
\mathl{M=R}{} stimmt dies mit der Definition eines noetherschen Ringes überein, da ja die $R$-Untermoduln von $R$ gerade die Ideale sind.
In den folgenden Aussagen verwenden wir folgende Sprech- bzw. Schreibweise.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und seien
\mathl{M_1,M_2,M_3}{}
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}
Man nennt ein Diagramm der Form
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, M_1 \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, M_2 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, M_3 \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
eine \definitionswort {kurze exakte Sequenz}{} von $R$-Moduln, wenn $M_1$ ein $R$-Untermodul von $M_2$ ist, und wenn $M_3$ ein Restklassenmodul von $M_2$ ist, der isomorph zu
\mathl{M_2/M_1}{} ist.
}
Die Exaktheit bedeutet, dass an jeder Stelle die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi_{i+1}
}
{ =} { \operatorname{bild} \varphi_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, wenn $\varphi_i$ die
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismen}{}{}
bezeichnet.
\inputfaktbeweis
{Modultheorie (kommutative Algebra)/Noethersche Moduln/Kurze exakte Sequenz/Äquivalentes Kriterium/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein kommutativer Ring und
\mathdisp {0 \longrightarrow M_1 \longrightarrow M \longrightarrow M_3 \longrightarrow 0} { }
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
von $R$-Moduln.}
\faktfolgerung {Dann ist $M$ genau dann
\definitionsverweis {noethersch}{}{,}
wenn sowohl $M_1$ als auch $M_3$ noethersch sind.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei zunächst $M$ noethersch, und
\mathl{U \subseteq M_1}{} ein Untermodul. Dann ist $U$ direkt auch ein Untermodul von $M$, also nach Voraussetzung endlich erzeugt. Es sei nun
\mathl{V \subseteq M_3}{} ein Untermodul des Restklassenmoduls. Das Urbild von $V$ in $M$ unter der Restklassenabbildung sei $\tilde{V}$. Dieser Modul ist nach Voraussetzung endlich erzeugt, und die Bilder eines solchen Erzeugendensystems erzeugen auch den Bildmodul $V$.
Es seien nun die äußeren Moduln $M_1$ und $M_3$ noethersch, und sei
\mathl{U \subseteq M}{} ein Untermodul. Es sei
\mathl{U_3 \subseteq M_3}{} der Bild-Untermodul davon. $U_3$ wird von endlich vielen Elementen
\mathl{s_1, \ldots, s_n}{} erzeugt, und wir können annehmen, dass diese
\mathl{s_i = \overline{r}_i}{} die Bilder von Elementen
\mathl{r_i \in U}{} sind. Betrachte
\mathl{U \cap M_1}{.} Dies ist ein Untermodul von $M_1$, und daher endlich erzeugt, sagen wir von
\mathl{t_1 , \ldots , t_k}{,} die wir als Elemente in $U$ auffassen. Wir behaupten, dass
\mathdisp {r_1, \ldots ,r_n,t_1, \ldots , t_k} { }
ein Erzeugendensystem von $U$ bilden. Es sei dazu
\mathl{m \in U}{} ein beliebiges Element. Dann ist
\mathl{\overline{m}= \sum_{i=1}^n a_i s_i}{} und daher geht das Element
\mathl{m-\sum_{i=1}^n a_i r_i}{} rechts auf $0$. Dann gehört es aber zum Kern der Restklassenabbildung, also zu $M_1$. Andererseits gehört dieses Element auch zu $U$, also zum Durchschnitt
\mathl{M_1 \cap U}{,} der ja von den
\mathl{t_1, \ldots ,t_k}{} erzeugt wird. Also kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ m-\sum_{i = 1}^n a_i r_i
}
{ =} { \sum_{j = 1}^k b_j t_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n a_i r_i+ \sum_{j = 1}^k b_j t_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Endlich erzeugte Moduln sind noethersch/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $M$ ein
\definitionsverweis {noetherscher Modul}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl $n$ der Modulerzeuger von $M$. Bei
\mathl{n=0}{} liegt der Nullmodul vor. Es sei
\mathl{n=1}{.} Dann gibt es eine surjektive Abbildung
\maabb {} {R} {M \cong R/ {\mathfrak a}
} {.}
Nach
Lemma 3.7
ist aber ein Restklassenmodul eines noetherschen Moduls wieder noethersch, und der Ring selbst ist nach Voraussetzung noethersch, also ist $M$ noethersch.
Es sei nun
\mathl{n \geq 2}{} und die Aussage für kleinere $n$ bereits bewiesen. Es sei
\mathl{m_1, \ldots, m_n}{} ein Erzeugendensystem von $M$. Wir betrachten den durch
\mathl{m_1, \ldots, m_{n-1}}{} erzeugten $R$-Untermodul, den wir mit $M_1$ bezeichnen. Dieser Untermodul gibt Anlass zu einer
\definitionsverweis {kurzen exakten Sequenz}{}{,}
nämlich
\mathdisp {0 \longrightarrow M_1 \longrightarrow M \longrightarrow M/M_1 =:M_3 \longrightarrow 0} { . }
Hier wird der linke Modul von
\mathl{n-1}{} Elementen erzeugt und ist nach Induktionsvoraussetzung noethersch. Der rechte Modul wird von der Restklasse von $m_n$, also von einem Element erzeugt, ist also auch noethersch. Nach
Lemma 3.7
ist dann $M$ noethersch.
\zwischenueberschrift{Hilbertscher Nullstellensatz - algebraische Version}
Wir wollen die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes beweisen. Dazu benötigen wir die folgenden beiden Lemmata.
\inputfaktbeweis
{Endlich erzeugte kommutative Algebren/R noethersch/A über R endlich erzeugt/A endlich über B/B ist endlich erzeugt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $A$ eine
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$R$-Algebra. Es sei
\mathl{B \subseteq A}{} eine $R$-Unteralgebra, über der $A$
\definitionsverweis {endlich}{}{}
\zusatzklammer {als $B$-Modul} {} {} sei.}
\faktfolgerung {Dann ist auch $B$ eine endlich erzeugte $R$-Algebra.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ R[x_1 , \ldots , x_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ = }{ Ba_1 + \cdots + Ba_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{a_i \in A}{.} Wir setzen
\mathkor {} {x_i = \sum_{j=1}^m b_{ij} a_j} {und} {a_ia_j= \sum_{k=1}^m b_{ijk} a_k} {}
mit Koeffizienten
\mathl{b_{ij}, b_{ijk} \in B}{.} Wir betrachten die von diesen Koeffizienten erzeugte $R$-Unteralgebra $S$ von $B$ und den
$S$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{A}
}
{ = }{ Sa_1 + \cdots + Sa_m
}
{ \subseteq }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Produkte
\mathl{a_i a_j}{} gehören wieder zu diesem Modul, daher ist $\tilde{A}$ sogar eine $S$-Algebra. Weil die $x_i$ ebenfalls zu $\tilde{A}$ gehören, gilt sogar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ \tilde{A}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet, dass $A$ ein endlicher $S$-Modul ist. Nach
Korollar 9.9
ist $S$ ein noetherscher Ring und nach
Satz 10.4
ist der $S$-Untermodul
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ \subseteq }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls endlicher $S$-Modul. Die Kette
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{ S
}
{ \subseteq }{ B
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zeigt schließlich, dass $B$ eine endlich erzeugte $R$-Algebra ist.
\inputfaktbeweis
{Endlich erzeugte kommutative Algebren/Rationaler Funktionenkörper ist nicht endlich erzeugt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $K$ ein Körper und
\mathl{R=K(X)}{} der zugehörige
\definitionsverweis {rationale Funktionenkörper}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $R$ keine endlich erzeugte $K$-Algebra.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei angenommen, dass die rationalen Funktionen
\mathbed {F_i= \frac{P_i}{Q_i}} {}
{i=1, \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
ein endliches Erzeugendensystem von
\mathl{K(X)}{} bilden, mit
\mathbed {P_i,Q_i \in K[X]} {}
{Q_i \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Durch Übergang zu einem Hauptnenner kann man annehmen, dass die Nenner
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q_i
}
{ = }{Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich sind. Die Annahme bedeutet also insbesondere, dass der Körper der rationalen Funktionen sich durch Nenneraufnahme an nur einem Element ergeben würde. Da $Q$ keine Konstante ist
\zusatzklammer {sonst wäre
\mathl{K[X] =K(X)}{,} was nicht der Fall ist} {} {,}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q-1
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mathl{\frac{1}{Q-1} \in K(X)}{.} Also gibt es eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{1}{Q-1}
}
{ =} { \frac{P}{Q^s}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem geeigneten $s$. Daraus folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q^s
}
{ = }{ (Q-1)P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da
\mathkor {} {Q^s} {und} {Q-1} {}
das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{}
in
\mathl{K[X]}{} erzeugen, folgt daraus, dass bereits
\mathl{Q-1}{} das Einheitsideal erzeugt, also selbst eine Einheit ist. Dann wäre $Q$ aber doch eine Konstante, was es nicht ist.
Die folgende Aussage ist die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.
\inputfaktbeweis
{Hilbertscher Nullstellensatz (algebraisch)/Endlich erzeugte Körpererweiterung ist endlich/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{,}
die
\zusatzklammer {als $K$-Algebra} {} {}
\definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{}
sei.}
\faktfolgerung {Dann ist $L$
\definitionsverweis {endlich}{}{}
über $K$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir setzen
\mathl{L=K[x_1 , \ldots , x_n]}{.} Es sei $K_i$ der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
von
\mathl{K[x_1 , \ldots , x_i]}{}
\zusatzklammer {innerhalb von $L$} {} {.}
Wir haben also eine Körperkette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} {K_0
}
{ \subseteq} { K_1
}
{ \subseteq} { \ldots
}
{ \subseteq} { K_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {L
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Wir wollen zeigen, dass $L$ endlich über $K$ ist, und dazu genügt es
nach Fakt *****
zu zeigen, dass jeder Schritt in der Körperkette endlich ist. Es sei angenommen, dass
\mathl{K_i \subseteq K_{i+1}}{} nicht endlich ist, aber alle folgenden Schritte endlich sind. Wir wenden
Lemma 10.5
auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq} { K_{i+1}
}
{ \subset} { L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
an und erhalten, dass
\mathl{K_{i+1}}{}
\definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{}
über $K$ ist. Dann ist insbesondere
\mathl{K_{i+1}}{} auch endlich erzeugt über $K_i$. Andererseits ist
\mathl{K_{i+1}}{} der Quotientenkörper von
\mathl{K_i[x_{i+1}]}{.} Wir haben also eine Kette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K_i
}
{ \subseteq} { K_i[x_{i+1}]
}
{ \subseteq} { Q( K_i[x_{i+1}])
}
{ =} {K_{i+1}
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wo
\mathl{K_{i+1}}{} endlich erzeugt über $K_i$ ist, aber nicht endlich. Wäre
\mathl{x_{i+1}}{}
\definitionsverweis {algebraisch}{}{}
über $K_i$, so auch endlich, und dann wäre
\mathl{K_i[x_{i+1}]}{} bereits ein Körper
nach Aufgabe *****.
Dann wäre die letzte Kette insgesamt endlich, im Widerspruch zur Wahl von $i$. Also ist
\mathl{x_{i+1}}{}
\definitionsverweis {transzendent}{}{}
über $K_i$. Dann ist aber
\mathl{K_i[x_{i+1}]}{} isomorph zu einem
\definitionsverweis {Polynomring in einer Variablen}{}{}
und
\mathl{Q( K_i[x_{i+1}])}{} ist isomorph zum
\definitionsverweis {rationalen Funktionenkörper}{}{}
über $K_i$. Dieser ist aber nach
Lemma 10.6
nicht endlich erzeugt, so dass sich erneut ein Widerspruch ergibt.
\inputfaktbeweis
{Algebren von endlichem Typ über Körper/Homomorphismen/Urbild von maximalem Ideal ist maximal/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $A$ und $B$ zwei $K$-Algebren von
\definitionsverweis {endlichem Typ}{}{.}
Es sei
\maabb {\varphi} {A} {B
} {}
ein
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist für jedes
\definitionsverweis {maximale Ideal}{}{}
${\mathfrak m}$ aus $B$ auch das Urbild
\mathl{\varphi ^{-1} ({\mathfrak m})}{} ein maximales Ideal.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei ${\mathfrak m}$ ein maximales Ideal aus $B$. Wir wissen nach
Aufgabe *****,
dass unter jedem
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
das Urbild eines
\definitionsverweis {Primideals}{}{}
wieder prim ist, also ist
\mathl{\varphi^{-1}( {\mathfrak m} )}{} zunächst ein Primideal, das wir ${\mathfrak p}$ nennen. Wir erhalten induzierte Ringhomomorphismen
\mathdisp {K \longrightarrow A/ {\mathfrak p} \longrightarrow B/ {\mathfrak m} = L} { , }
wobei $L$ ein Körper ist und wobei beide Homomorphismen injektiv und von endlichem Typ sind. Da die Gesamtabbildung von endlichem Typ ist und $K$ und $L$ Körper sind, folgt aus
Satz 10.7,
dass diese Abbildung
\definitionsverweis {endlich}{}{}
ist. Wir wollen zeigen, dass der Zwischenring
\mathl{A/ {\mathfrak p}}{} ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist. Dies folgt aber aus
Aufgabe *****.
\inputfaktbeweis
{Algebren von endlichem Typ über Körper/Radikal ist Durchschnitt von maximalen Idealen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $A$ eine $K$-Algebra von
\definitionsverweis {endlichem Typ}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist jedes
\definitionsverweis {Radikal}{}{} in $A$ der Durchschnitt von
\definitionsverweis {maximalen Idealen}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach Aufgabe *****
ist jedes Radikal der Durchschnitt von Primidealen. Es genügt also zu zeigen, dass jedes Primideal in einer endlich erzeugten Algebra der Durchschnitt von maximalen Idealen ist. Es sei ${\mathfrak p}$ ein Primideal und
\mathl{f \not \in {\mathfrak p}}{.} Dann ist ${\mathfrak p}$ ein Primideal in der Nenneraufnahme
\mathl{B \defeq A_f}{.} Es gibt ein
\zusatzklammer {in $A_f$} {} {}
maximales Ideal
\mathl{{\mathfrak m} \subset A_f}{} oberhalb von
\mathl{{\mathfrak p} A_f}{.} Wir fassen $A_f$ als endlich erzeugte $K$-Algebra auf und betrachten
\maabbdisp {\varphi} {A} {A_f
} {.}
Dann ist
\mathl{{\mathfrak p} \subseteq \varphi^{-1} ({\mathfrak m})}{} und
\mathl{f \not\in \varphi^{-1} ({\mathfrak m})}{.} Nach
Satz 10.8
ist
\mathl{\varphi^{-1} ({\mathfrak m})}{} maximal.
\inputfaktbeweis
{Algebren von endlichem Typ über Körper/Algebraisch abgeschlossen/Maximale Ideale sind Punktideal/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und sei $A$ eine
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist jeder
\definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{}
von $A$
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu $K$.}
\faktzusatz {Anders formuliert: Jedes
\definitionsverweis {maximale Ideal}{}{}
in $A$ ist ein
\definitionsverweis {Punktideal}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $\mathfrak m$ ein maximales Ideal der endlich erzeugten $K$-Algebra $A$ und betrachte
\mathdisp {K \longrightarrow A \longrightarrow A/{\mathfrak m} =: L} { . }
Hier ist $L$ ein Körper und zugleich eine endlich erzeugte $K$-Algebra. Nach
Satz 10.7
muss also $L$ eine endliche $K$-Algebra sein. Da $K$ algebraisch abgeschlossen ist, muss
\mathl{K=L}{} sein.