Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Vorlesung 10

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Noethersche Moduln

Wir wollen zeigen, das für einen noetherschen Ring und einen endlich erzeugten -Modul jeder -Untermodul wieder endlich erzeugt ist. Solche Moduln nennt man noethersch.


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Dann heißt noethersch, wenn jeder -Untermodul von endlich erzeugt ist.

Für stimmt dies mit der Definition eines noetherschen Ringes überein, da ja die -Untermoduln von gerade die Ideale sind.

In den folgenden Aussagen verwenden wir folgende Sprech- bzw. Schreibweise.


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und seien -Moduln Man nennt ein Diagramm der Form

eine kurze exakte Sequenz von -Moduln, wenn ein -Untermodul von ist, und wenn ein Restklassenmodul von ist, der isomorph zu ist.

Die Exaktheit bedeutet, dass an jeder Stelle die Beziehung

gilt, wenn die -Modulhomomorphismen bezeichnet.



Lemma  

Sei ein kommutativer Ring und

eine kurze exakte Sequenz von -Moduln.

Dann ist genau dann noethersch, wenn sowohl als auch noethersch sind.

Beweis  

Sei zunächst noethersch, und ein Untermodul. Dann ist direkt auch ein Untermodul von , also nach Voraussetzung endlich erzeugt. Sei nun ein Untermodul des Restklassenmoduls. Das Urbild von in unter der Restklassenabbildung sei . Dieser Modul ist nach Voraussetzung endlich erzeugt, und die Bilder eines solchen Erzeugendensystems erzeugen auch den Bildmodul .

Seien nun die äußeren Moduln und noethersch, und sei ein Untermodul. Es sei der Bild-Untermodul davon. wird von endlich vielen Elementen erzeugt, und wir können annehmen, dass diese die Bilder von Elementen sind. Betrachte . Dies ist ein Untermodul von , und daher endlich erzeugt, sagen wir von , die wir als Elemente in auffassen. Wir behaupten, dass

ein Erzeugendensystem von bilden. Sei dazu ein beliebiges Element. Dann ist und daher geht das Element rechts auf . Dann gehört es aber zum Kern der Restklassenabbildung, also zu . Andererseits gehört dieses Element auch zu , also zum Durchschnitt , der ja von den erzeugt wird. Also kann man

bzw. schreiben.




Satz  

Sei ein noetherscher kommutativer Ring und ein endlich erzeugter -Modul.

Dann ist ein noetherscher Modul.

Beweis  

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Modulerzeuger von . Bei liegt der Nullmodul vor. Sei . Dann gibt es eine surjektive Abbildung . Nach Lemma 3.7 ist aber ein Restklassenmodul eines noetherschen Moduls wieder noethersch, und der Ring selbst ist nach Voraussetzung noethersch, also ist noethersch.

Sei nun und die Aussage für kleinere bereits bewiesen. Sei ein Erzeugendensystem von . Wir betrachten den durch erzeugten -Untermodul, den wir mit bezeichnen. Dieser Untermodul gibt Anlass zu einer kurzen exakten Sequenz, nämlich

Hier wird der linke Modul von Elementen erzeugt und ist nach Induktionsvoraussetzung noethersch. Der rechte Modul wird von der Restklasse von , also von einem Element erzeugt, ist also auch noethersch. Nach Lemma 3.7 ist dann noethersch.



Hilbertscher Nullstellensatz - algebraische Version

Wir wollen die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes beweisen. Dazu benötigen wir die folgenden beiden Lemmata.



Lemma  

Sei ein noetherscher kommutativer Ring und eine endlich erzeugte -Algebra. Es sei eine -Unteralgebra, über der endlich (als -Modul) sei.

Dann ist auch eine endlich erzeugte -Algebra.

Beweis  

Wir schreiben und mit . Wir setzen und mit Koeffizienten . Wir betrachten die von diesen Koeffizienten erzeugte -Unteralgebra von und den -Untermodul . Die Produkte gehören wieder zu diesem Modul, daher ist sogar eine -Algebra. Weil die ebenfalls zu gehören, gilt sogar . Dies bedeutet, dass ein endlicher -Modul ist. Nach Korollar 9.9 ist ein noetherscher Ring und nach Satz 10.4 ist der -Untermodul ebenfalls endlicher -Modul. Die Kette zeigt schließlich, dass eine endlich erzeugte -Algebra ist.




Lemma  

Sei ein Körper und der zugehörige rationale Funktionenkörper.

Dann ist keine endlich erzeugte -Algebra.

Beweis  

Sei angenommen, dass die rationalen Funktionen , , ein endliches Erzeugendensystem von bilden, mit , . Durch Übergang zu einem Hauptnenner kann man annehmen, dass konstant ist. Die Annahme bedeutet also insbesondere, dass der Körper der rationalen Funktionen sich durch Nenneraufnahme an nur einem Element ergeben würde. Da keine Konstante ist (sonst wäre , was nicht der Fall ist), ist und daher ist . Also gibt es eine Darstellung

mit einem geeigneten . Daraus folgt . Da und das Einheitsideal in erzeugen, folgt daraus, dass bereits das Einheitsideal erzeugt, also selbst eine Einheit ist. Dann wäre aber doch eine Konstante, was es nicht ist.


Die folgende Aussage ist die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.



Satz  

Sei ein Körper und sei eine Körpererweiterung, die (als -Algebra) endlich erzeugt sei.

Dann ist endlich über .

Beweis  

Wir setzen . Sei der Quotientenkörper von (innerhalb von ). Wir haben also eine Körperkette

Wir wollen zeigen, dass endlich über ist, und dazu genügt es nach Fakt ***** zu zeigen, dass jeder Schritt in der Körperkette endlich ist. Sei angenommen, dass nicht endlich ist, aber alle folgenden Schritte endlich sind. Wir wenden Lemma 10.5 auf

an und erhalten, dass endlich erzeugt über ist. Dann ist insbesondere auch endlich erzeugt über . Andererseits ist der Quotientenkörper von . Wir haben also eine Kette

wo endlich erzeugt über ist, aber nicht endlich. Wäre algebraisch über , so auch endlich, und dann wäre bereits ein Körper nach Aufgabe *****. Dann wäre die letzte Kette insgesamt endlich, im Widerspruch zur Wahl von . Also ist transzendent über . Dann ist aber isomorph zu einem Polynomring in einer Variablen und ist isomorph zum rationalen Funktionenkörper über . Dieser ist aber nach Lemma 10.6 nicht endlich erzeugt, so dass sich erneut ein Widerspruch ergibt.




Satz  

Sei ein Körper und seien und zwei -Algebren von endlichem Typ. Es sei ein -Algebrahomomorphismus.

Dann ist für jedes maximale Ideal aus auch das Urbild ein maximales Ideal.

Beweis  

Sei ein maximales Ideal aus . Wir wissen nach Aufgabe *****, dass unter jedem Ringhomomorphismus das Urbild eines Primideals wieder prim ist, also ist zunächst ein Primideal, das wir nennen. Wir erhalten induzierte Ringhomomorphismen

wobei ein Körper ist und wobei beide Homomorphismen injektiv und von endlichem Typ sind. Da die Gesamtabbildung von endlichem Typ ist und und Körper sind, folgt aus Satz 10.7, dass diese Abbildung endlich ist. Wir wollen zeigen, dass der Zwischenring ein Körper ist. Dies folgt aber aus Aufgabe *****.




Satz  

Sei ein Körper und sei eine -Algebra von endlichem Typ.

Dann ist jedes Radikal in der Durchschnitt von maximalen Idealen.

Beweis  

Nach Aufgabe ***** ist jedes Radikal der Durchschnitt von Primidealen. Es genügt also zu zeigen, dass jedes Primideal in einer endlich erzeugten Algebra der Durchschnitt von maximalen Idealen ist. Sei ein Primideal und . Dann ist ein Primideal in der Nenneraufnahme . Es gibt ein (in ) maximales Ideal oberhalb von . Wir fassen als endlich erzeugte -Algebra auf und betrachten

Dann ist und . Nach Satz 10.8 ist maximal.



Satz  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine endlich erzeugte -Algebra.

Dann ist jeder Restklassenkörper von isomorph zu .

Anders formuliert: Jedes maximale Ideal in ist ein Punktideal.

Beweis  

Sei ein maximales Ideal der endlich erzeugten -Algebra und betrachte

Hier ist ein Körper und zugleich eine endlich erzeugte -Algebra. Nach Satz 10.7 muss also eine endliche -Algebra sein. Da algebraisch abgeschlossen ist, muss sein.




<< | Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008) | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)