Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 14/kontrolle

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Aufwärmaufgaben

In den folgenden Aufgaben werden Ultrafilter und minimale Primideale besprochen. Wir geben die Definition.

Ein Primideal in einem kommutativen Ring heißt minimales Primideal, wenn es kein Primideal mit gibt.


Sei ein kommutativer Ring. Ein multiplikatives System nennt man einen Ultrafilter, wenn ist und wenn maximal mit dieser Eigenschaft ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein kommutativer Ring und sei ein multiplikatives System mit . Zeige, dass genau dann ein Ultrafilter ist, wenn es zu jedem , , ein und eine natürliche Zahl mit gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ultrafilter. Zeige, dass das Komplement von ein minimales Primideal in ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein kommutativer Ring und sei ein multiplikatives System mit . Zeige, dass in einem Ultrafilter enthalten ist.

(Man benutze das Lemma von Zorn).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein kommutativer, reduzierter Ring. Zeige, dass jeder Nullteiler in einem minimalen Primideal enthalten ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine kommutative -Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass die minimalen Primideale von den irreduziblen Komponenten von entsprechen.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und betrachte die affine Ebene . Es sei ein Punkt und das offene Komplement davon. Zeige

(Dies besagt, dass eine außerhalb eines Punktes definierte algebraische Funktion sich in den Punkt fortsetzen lässt. In der komplexen Analysis nennt man den entsprechenden Satz den Riemannschen Hebbarkeitssatz).

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein kommutativer Ring und , , seien -Moduln mit fixierten -Modulhomomorphismen

Die Sequenz

heißt exakt, wenn für alle gilt, dass ist.

  1. Zeige, dass diese Definition im Falle einer kurzen exakten Sequenz mit der Definition 10.2 in der Vorlesung übereinstimmt.
  2. Sei nun ein Körper, die seien endlich erzeugt, und alle für für ein gewisses . Zeige, dass


Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und eine endlichdimensionale, reduzierte -Algebra. Zeige, dass dann ein endliches direktes Produkt von endlichen Körpererweiterungen von ist.

Hinweis: Man darf ohne Beweis benutzen, dass es in nur endlich viele Primideale gibt.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beschreibe die Menge aller -Matrizen mit Rang über einem Körper als -Spektrum einer geeigneten -Algebra. Zeige, dass es eine Isomorphie zwischen einer (nicht leeren) Zariski-offenen Teilmenge von und einer offenen Menge des gibt.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte das Ideal

und das zugehörige Nullstellengebilde . Zeige, dass zum Radikal von gehört. Zeige damit, dass isomorph zu einer ebenen algebraischen Kurve ist.

Man benutze, dass das Radikal der Durchschnitt der Primideale ist, die es umfassen.



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