Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage
Die diophantische Gleichung
besitzt für kein
eine ganzzahlige nichttriviale Lösung.
In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.
Ein Polynomring über einem Körper
ist ein Hauptidealbereich.
Es sei ein
Hauptidealbereich und seien
teilerfremde
Elemente.
Dann kann man die als Linearkombination von
und
darstellen, d.h. es gibt Elemente
mit
.
Es sei ein
Hauptidealbereich
und
.
Es seien
und
teilerfremd
und
teile das Produkt
.
Dann teilt den Faktor
.
Es sei ein
Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann
prim,
wenn es irreduzibel ist.
Es sei ein Integritätsbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
-
ist faktoriell.
- Jede Nichteinheit
besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und diese Zerlegung ist bis auf Umordnung und Assoziiertheit eindeutig.
- Jede Nichteinheit
besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und jedes irreduzible Element ist ein Primelement.
Ein Hauptidealbereich
ist ein faktorieller Bereich.
Es sei ein
Hauptidealbereich
und
ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
ist ein Primelement.
ist ein Integritätsbereich.
ist ein Körper.
Es sei ein
Körper und
,
, ein Polynom.
Dann ist genau dann
irreduzibel, wenn der
Restklassenring
ein
Körper ist.
Es seien und
kommutative Ringe
und sei
ein
multiplikatives System.
Es sei
ein
Ringhomomorphismus
derart, dass eine
Einheit
in
für alle
ist.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
der fortsetzt.
Es sei ein
kommutativer Ring
und sei
ein
Primideal
in
.
Dann ist die
Lokalisierung
ein
lokaler Ring
mit
maximalem Ideal
Es sei ein
Integritätsbereich
mit
Quotientenkörper
.
Dann gilt
wobei der Durchschnitt über alle
maximale Ideale
läuft und in genommen wird.
Es sei ein
kommutativer Ring
und sei
ein
Primideal.
Dann ist der
Quotientenkörper
des
Restklassenringes
in natürlicher Weise
isomorph
zum
Restekörper
der
Lokalisierung
.
Es ist also
Es sei ein
kommutativer Ring.
Dann gelten folgende Aussagen.
- Zu einem Ideal
und der Restklassenabbildung
ist die Spektrumsabbildung
eine abgeschlossene Einbettung, deren Bild
ist.
-
- Zu einem
multiplikativen System
ist die zur kanonischen Abbildung
gehörige Abbildung
injektiv, und das Bild besteht aus der Menge der Primideale von
, die zu
disjunkt sind.
-
- Zu
ist die zur kanonischen Abbildung
gehörige Abbildung
eine offene Einbettung, deren Bild gleich
ist.
-
Es sei
ein
Ringhomomorphismus
zwischen zwei
kommutativen Ringen
und es sei
die zugehörige Spektrumsabbildung.
Dann ist die
Faser
über einem Primideal
gleich
.
D.h. die Faser besteht aus allen Primidealen
mit
und mit
.
Es sei
eine
endliche Körpererweiterung.
Dann ist
Es sei eine
Primzahl
und
.
Dann gibt es bis auf
Isomorphie
genau einen
Körper
mit
Elementen.
Es sei eine
Primzahl
und
mit
.
Dann ist die
Körpererweiterung
eine
Galoiserweiterung
mit einer
zyklischen
Galoisgruppe
der
Ordnung
, die vom
Frobeniushomomorphismus
erzeugt wird.
Es seien und
kommutative Ringe
und
eine Ringerweiterung. Für ein Element
sind folgende Aussagen äquivalent.
ist ganz über
.
- Es gibt eine
-Unteralgebra
von
mit
und die ein endlicher
-Modul ist.
- Es gibt einen endlichen
-Untermodul
von
, der einen Nichtnullteiler aus
enthält, mit
.
Es sei ein
faktorieller
Integritätsbereich.
Dann ist
normal.
Es sei
die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl
. Es sei
eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten
ein Vielfaches von
sind.
Dann ist die reelle Zahl
irrational.
Es sei ein
Integritätsbereich
mit
Quotientenkörper
und sei
eine
endliche Körpererweiterung.
Der
ganze Abschluss
von
in
sei mit
bezeichnet.
Dann ist der Quotientenkörper von
.
Es sei ein
Zahlbereich.
Dann enthält jedes von verschiedene
Ideal
eine Zahl
mit
.
Es sei
eine
endliche Körpererweiterung
vom
Grad
.
Dann gibt es genau Einbettungen von
in die komplexen Zahlen
.
Es sei
eine
endliche Körpererweiterung
vom
Grad
und seien
die
verschiedenen komplexen Einbettungen. Es sei
und
,
.
Dann ist
Es sei
eine
endliche Körpererweiterung
vom
Grad
und seien
und
-
Basen
von
. Der Basiswechsel werde durch
mit der
Übergangsmatrix
beschrieben.
Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung
Es sei
eine
endliche Körpererweiterung
vom
Grad
und
der zugehörige
Zahlbereich.
Es sei
ein von
verschiedenes
Ideal
in
. Es seien
Elemente, die eine
-
Basis
von
bilden und für die der Betrag der
Diskriminante
unter all diesen Basen aus minimal sei.
Dann ist
Es sei
eine
endliche Körpererweiterung
vom
Grad
und
der zugehörige
Zahlbereich.
Es sei
ein von
verschiedenes
Ideal
in
.
Dann ist eine
freie abelsche Gruppe vom Rang
,
d.h. es gibt Elemente
mit
wobei die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes aus eindeutig bestimmt sind.
Es sei
eine
endliche Körpererweiterung
vom
Grad
und
der zugehörige
Zahlbereich.
Dann ist eine
freie abelsche Gruppe vom Rang
,
d.h. es gibt Elemente
mit
derart, dass die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes eindeutig bestimmt sind.
Es sei
eine
endliche Körpererweiterung
vom
Grad
und
der zugehörige
Zahlbereich.
Es sei
.
Dann gibt es einen Gruppenisomorphismus
Für eine Primzahl
ist
eine Algebra der Dimension
über dem Körper
.
Zu jeder Primzahl gibt es
Primideale
in
mit
.
Es sei
eine
quadratfreie Zahl
und
der zugehörige
quadratische Zahlbereich.
Dann gilt
und
Zu einem
Ideal
in einem
Zahlbereich
ist der
Restklassenring
endlich.
Jeder Zahlbereich
ist ein Dedekindbereich.
Es sei der
Ganzheitsring
einer
endlichen Körpererweiterung
.
Dann ist
genau dann eine
Einheit,
wenn
ist.
Es sei ein
Zahlbereich
und
,
.
Dann ist der Betrag der
Norm
von gleich der
Norm
des Hauptideals
.
Es sei ein
noetherscher
lokaler
Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei
Primideale
gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist ein diskreter Bewertungsring.
ist ein Hauptidealbereich.
ist faktoriell.
ist normal.
ist ein Hauptideal.
Es sei ein
Dedekindbereich
und sei
ein
maximales Ideal
in
.
Dann ist die Lokalisierung
ein diskreter Bewertungsring.
Es sei ein
Dedekindbereich.
Dann sind die Zuordnungen
zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von verschiedenen
Ideale
und der Menge der
effektiven Divisoren.
Diese Bijektion übersetzt das Produkt von Idealen in die Summe von Divisoren.
Es sei ein
Dedekindbereich
und
ein
Ideal
in
.
Dann gibt es eine Produktdarstellung
mit
(bis auf die Reihenfolge)
eindeutig bestimmten
Primidealen
aus
und eindeutig bestimmten Exponenten
,
.
Es sei ein Ideal
in einem
Dedekindbereich
mit der eindeutigen Primidealzerlegung
Dann gibt es einen natürlichen Ringisomorphismus
Es sei ein
Hauptidealbereich und
,
, ein Element mit kanonischer
Primfaktorzerlegung
Dann gilt für den
Restklassenring
die kanonische
Isomorphie
Es sei eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
(die seien also verschieden und
).
Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen
einen
Ringisomorphismus
Zu gegebenen ganzen Zahlen gibt es also genau eine natürliche Zahl
,
die die simultanen Kongruenzen
löst.
Es sei ein
Zahlbereich
und seien
Ideale
in
.
Dann ist
Es sei ein
Dedekindbereich.
Dann sind die Zuordnungen
zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von verschiedenen
gebrochenen Ideale
und der Menge der
Divisoren.
Diese Bijektion ist ein Isomorphismus von Gruppen.
Es sei ein
Dedekindbereich
und es bezeichne
die
Divisorenklassengruppe
von
. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist ein Hauptidealbereich.
ist faktoriell.
- Es ist
.
Es sei ein
Dedekindbereich
und es sei
,
,
ein
multiplikatives System
mit der
Nenneraufnahme
.
Dann liegt eine exakter Komplex
vor.
Dabei ordnet die dritte Abbildung einer Einheit
die Einschränkung des
Hauptdivisors
auf die angegebene Primidealmenge zu. Die vierte Abbildung ordnet einen Divisor
auf die zugehörige Klasse in
zu.
Zu einer Erweiterung von
Dedekindbereichen
gehört in funktorieller Weise ein Gruppenhomomorphismus
Es seien
und
teilerfremde
quadratfreie
natürliche Zahlen, nicht beide
, und sei
die zugehörige kubische
Körpererweiterung.
Wir setzen
und
. Dann gelten folgende Aussagen.
und
sind ganze Elemente in
.
- Es ist
-
- Wenn
gilt, so ist
der Ganzheitsring von
, und
bilden eine Ganzheitsbasis.
- Bei
gehört auch
zum Ganzheitsring, und
bilden eine Ganzheitsbasis.
Es seien
und
teilerfremde
quadratfreie
natürliche Zahlen, nicht beide
, und sei
die zugehörige kubische
Körpererweiterung
mit dem
Ganzheitsring
. Dann gilt für die
Diskriminante
von
folgende Beschreibung.
- Bei
ist die Diskriminante von
gleich
.
- Bei
ist die Diskriminante von
gleich
.
Es sei eine
Primzahl
und
eine
primitive
-te
Einheitswurzel.
Dann ist die
Diskriminante
der
-
Basis
des
-ten
Kreisteilungskörpers
gleich
Es sei
und sei
eine
primitive
-te
Einheitswurzel.
Dann ist der -te
Kreisteilungsring
gleich
.
Es sei
eine
endliche Erweiterung
von
Dedekindbereichen
und es sei
ein
Primideal
von
. Es sei
die Idealzerlegung des
Erweiterungsideales
im Sinne von
Korollar 12.3.
Dann ist in
genau dann
verzweigt,
wenn der
Faserring
zu
über
nicht
reduziert
ist.
Es sei ein
Zahlbereich
mit
Diskriminante
. Es sei
eine
Primzahl.
Dann ist genau dann ein Teiler von
, wenn der
Faserring
zu
über
nicht
reduziert
ist.
Es sei ein
kommutativer Ring
und es sei
eine kommutative
endlich erzeugte
-
Algebra,
die als
gegeben sei.
Dann ist
Es sei ein
Zahlbereich.
Dann ist die Ringerweiterung
in einem Primideal
genau dann
verzweigt,
wenn
ist.
Es sei ein
Dedekindbereich
mit
Quotientenkörper
,
eine
Körpererweiterung
vom
Grad
und
der
ganze Abschluss
von
in
. Es sei
ein von
verschiedenes
Primideal
von
mit der Primidealzerlegung
in . Die Körpererweiterungen
haben die
Trägheitsgrade
.
Dann ist
Es sei ein
normaler Integritätsbereich
mit
Quotientenkörper
und sei
eine
Galoiserweiterung.
Es sei
der
ganze Abschluss
von
in
.
Dann operiert die
Galoisgruppe
auf
mit
Invariantenring
.
Es sei ein
kommutativer Ring,
auf dem eine
endliche Gruppe
durch
Ringautomorphismen
operiere.
Dann ist
eine
ganze Erweiterung.
Es sei ein
kommutativer Ring,
auf dem eine
endliche Gruppe
durch
Ringautomorphismen
operiere und es sei
die zugehörige Spektrumsabbildung.
Dann gilt für
die Äquivalenz:
genau dann, wenn es ein
mit
gibt.
Das heißt, dass die
Bahnen der Operation
von auf
mit den
Fasern
von
übereinstimmen.
Es sei ein
kommutativer Ring, auf dem eine
endliche Gruppe
durch
Ringautomorphismen operiere und es sei
die zugehörige Spektrumsabbildung.
Dann ist der
Quotient
der Gruppenoperation von
auf
.
Es sei ein
Dedekindbereich
mit
Quotientenkörper
,
eine
Galoiserweiterung
vom
Grad
und sei
der
ganze Abschluss
von
in
. Es sei
ein von
verschiedenes
Primideal
von
.
Dann stimmen in der Primidealzerlegung
die Exponenten überein und ebenso stimmen die
Trägheitsgrade
überein. Dabei ist
Es sei ein
Dedekindbereich
mit
Quotientenkörper
und sei
eine
endliche Galoiserweiterung
mit
Galoisgruppe
. Es sei
der
ganze Abschluss
von
in
und sei
ein
Primideal
von
über
. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Die
Zerlegungsgruppe
ist genau dann trivial, wenn
voll zerlegt ist.
- Die Zerlegungsgruppe
ist genau gleich
, wenn
unzerlegt ist.
- Zu einem weiteren Primideal
oberhalb von
sind die Zerlegungsgruppen
und
isomorph.
- Es ist
wobei
der gemeinsame Verzweigungsindex und
der gemeinsame Trägheitsgrad der Primideale oberhalb von
ist.
-
Es sei ein
Dedekindbereich
mit
Quotientenkörper
und sei
eine
endliche Galoiserweiterung
mit
Galoisgruppe
. Es sei
der
ganze Abschluss
von
in
und sei
ein
Primideal
von
über
. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Es gibt einen natürlichen Gruppenhomomorphismus
-
- Wenn die Erweiterung der Restekörper separabel ist, so handelt es sich bereits um eine Galoiserweiterung, und der Gruppenhomomorphismus ist surjektiv.
- Wenn
zusätzlich unverzweigt ist, so liegt ein Isomorphismus vor.
Es sei
der
-te
Kreisteilungsring. Dann sind für eine ungerade Primzahl
folgende Aussagen äquivalent.
ist ein Teiler von
.
- Das Primideal
verzweigt in
.
- Das Kreisteilungspolynom
ist über
nicht separabel.
- Das Polynom
ist über
nicht separabel.
- Der Ring
ist nicht reduziert.
Es sei
der
-te
Kreisteilungsring
und es sei
eine Primzahl, die kein Teiler von
sei. Es sei
die multiplikative
Ordnung
von
in
.
Dann liegen oberhalb von in
genau
Primideale,
deren
Restekörper
gleich
sind.
Es sei eine ungerade
Primzahl.
Dann gilt für das Quadrat der ersten quadratischen Gaußsumme die Gleichung
Es seien
und
verschiedene ungerade
Primzahlen. Dann gilt:
Es sei eine
Basis
im
und sei
das davon
erzeugte Parallelotop.
Dann gilt für das
Borel-Lebesgue-Maß
auf
wobei in der Matrix die Koordinaten von bezüglich der
Standardbasis
stehen.
Es sei
eine
endliche Körpererweiterung
vom
Grad
mit
reellen Einbettungen
und
Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei
die reelle Gesamteinbettung.
Dann ist das Bild des
Ganzheitsringes
von unter
ein
Gitter
in
Es sei ein
Zahlbereich
mit
reellen Einbettungen und
Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei
eine
Grundmasche
des
Gitters
unter der reellen Gesamteinbettung
Dann ist das Volumen der Grundmasche bezüglich der euklidischen Standardmetrik des gleich
Es sei ein
Zahlbereich
mit
Diskriminante
und mit
Paaren von komplexen Einbettungen. Dann enthält jede Idealklasse aus der
Klassengruppe
ein
Ideal
,
das die Normschranke
erfüllt.
Es sei ein
Zahlbereich.
Dann ist die
Divisorenklassengruppe
von eine endliche Gruppe.
Es sei ein
Zahlbereich
und sei
ein
Ideal
in
.
Dann gibt es ein
derart, dass
ein
Hauptideal
ist.
Es sei ein
Zahlbereich
mit
Diskriminante
und
Paaren von
komplexen Einbettungen. Es sei vorausgesetzt, dass jede
Primzahl
, die die Normbedingung
erfüllt, ein Primfaktorzerlegung besitzt.
Dann ist
faktoriell.
Es sei ein
Körper
der
Charakteristik
und sei
.
Dann enthält genau dann eine
primitive
-te
Einheitswurzel,
wenn für den
-ten
Kreisteilungskörper
gilt.
Die
Einheitswurzelgruppe
des -ten
Kreisteilungskörpers
ist
bei gerade und
bei ungerade.
Es sei ein
Zahlbereich.
Dann ist endlich und
zyklisch.
Es sei der
imaginär-quadratische Zahlbereich
mit
Diskriminante
.
Dann stimmt die
Einheitengruppe
mit der Einheitswurzelgruppe
überein. Für diese gibt es die folgenden drei Möglichkeiten.
- Bei
ist
.
- Bei
ist
.
- Bei
ist
.
Es sei ein
Zahlbereich
mit
reellen Einbettungen und
Paaren von komplexen Einbettungen.
Dann ist
mit einer endlichen
zyklischen Gruppe
.
Es sei eine
quadratfreie
Zahl und
der zugehörige
quadratische Zahlbereich.
- Wenn
positiv ist, so ist die Einheitengruppe isomorph zu
.
- Wenn
negativ ist, so ist die Einheitengruppe endlich.