Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 12/latex
\setcounter{section}{12}
\zwischenueberschrift{Der Satz von Dedekind}
\inputfaktbeweis
{Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Umfassen und teilen/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
und seien ${\mathfrak a}$ und ${\mathfrak b}$ Ideale in $R$.}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak b}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn es ein Ideal ${\mathfrak c}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak a}
}
{ = }{ {\mathfrak b} {\mathfrak c}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.}
\faktzusatz {Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b}
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ${\mathfrak c}$ eindeutig bestimmt.}
\faktzusatz {}
}
{
Die Implikation \anfuehrung{$\Leftarrow$}{} gilt in beliebigen kommutativen Ringen. Die andere Implikation ist richtig, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Wir können also annehmen, dass die beteiligten Ideale von $0$ verschieden sind. Die Bedingung impliziert nach
Lemma 11.11 (3),
dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\operatorname{div}({\mathfrak a})
}
{ \geq }{ \operatorname{div}({\mathfrak b})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div}({\mathfrak a})
}
{ =} { \operatorname{div}({\mathfrak b}) + E
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem effektiven Divisor $E$. Nach
Satz 11.13
übersetzt sich dies zurück zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ {\mathfrak b} \cdot \operatorname{Id}(E)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so dass mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak c}
}
{ = }{ \operatorname{Id}(E)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die rechte Seite erfüllt ist.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Dedekind_stamp.jpg} }
\end{center}
\bildtext {DDR-Briefmarke} }
\bildlizenz { Dedekind stamp.jpg } {Deutsche Post der DDR} {Le Corbeau} {PD} {} {}
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Satz von Dedekind} {.} Sie liefert für jeden Zahlbereich auf der Idealebene einen Ersatz für die eindeutige Primfaktorzerlegung.
\inputfaktbeweis
{Dedekindbereich/Ideal/Zerlegung in Primideale/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine Produktdarstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { {\mathfrak p}_1^{r_1} \cdots {\mathfrak p}_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\zusatzklammer {bis auf die Reihenfolge} {} {}
eindeutig bestimmten
\definitionsverweis {Primidealen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}_i
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus $R$ und eindeutig bestimmten Exponenten
\mathbed {r_i} {}
{i= 1 , \ldots , k} {}
{} {} {} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir benutzen
Satz 11.13,
also die bijektive Beziehung zwischen Idealen $\neq 0$ und effektiven Divisoren. Auf der Seite der Divisoren haben wir offenbar eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div}({\mathfrak a})
}
{ =} { \sum_{i = 1}^k r_i {\mathfrak p}_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit geeigneten Primidealen ${\mathfrak p}_i$. Wendet man auf diese Darstellung die Abbildung
\mathl{D \mapsto \operatorname{Id}(D)}{} an, so erhält man links das Ideal zurück. Es genügt also zu zeigen, dass der Divisor rechts auf das Ideal
\mathl{{\mathfrak p}_1^{r_1} \cdots {\mathfrak p}_k^{r_k}}{} abgebildet wird. Dies folgt aber direkt aus
Satz 11.13.
\inputfaktbeweis
{Dedekindbereich/Elemente/Zerlegung in Primideale/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
und
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine Produktdarstellung für das
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f)
}
{ =} { {\mathfrak p}_1^{r_1} \cdots {\mathfrak p}_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\zusatzklammer {bis auf die Reihenfolge} {} {}
eindeutig bestimmten
\definitionsverweis {Primidealen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}_i
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus $R$ und eindeutig bestimmten Exponenten
\mathbed {r_i} {}
{i= 1 , \ldots , k} {}
{} {} {} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz 12.2.
\zwischenueberschrift{Chinesischer Restsatz für Dedekindbereiche}
Wir kommen zum chinesischen Restsatz für Dedekindbereiche, der den klassischen chinesischen Restsatz für ganze Zahlen wesentlich verallgemeinert. Dazu erinnern wir kurz an Produktringe und idempotente Elemente.
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathl{R_1 , \ldots , R_n}{}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{.}
Dann heißt das Produkt
\mathdisp {R_1 \times \cdots \times R_n} { , }
versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der \definitionswort {Produkt\-ring}{} der
\mathbed {R_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {.}
}
\inputdefinition
{}
{
Ein Element $e$ eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
heißt \definitionswort {idempotent}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e^2
}
{ = }{e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Die Elemente
\mathkor {} {0} {und} {1} {}
sind trivialerweise idempotent, man nennt sie die trivialen idempotenten Elemente. In einem Produktring sind auch diejenigen Elemente, die in allen Komponenten nur den Wert
\mathkor {} {0} {oder} {1} {}
besitzen, idempotent, also beispielsweise
\mathl{(1,0)}{.}
\inputfaktbeweis
{Kommutativer Ring/Ideal/Teilerfremd/Durchschnitt und Produkt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} , {\mathfrak b}
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} + {\mathfrak b}
}
{ = }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} \cap {\mathfrak b}
}
{ =} { {\mathfrak a} {\mathfrak b}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Inklusion $\supseteq$ gilt immer. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ {\mathfrak a} \cap {\mathfrak b}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{ {\mathfrak b}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+b
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {x \cdot 1
}
{ =} { x(a+b)
}
{ =} {xa +xb
}
{ \in} { {\mathfrak b}{\mathfrak a} + {\mathfrak a}{\mathfrak b}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { {\mathfrak a}{\mathfrak b}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Kommutativer Ring/Ideal/Teilerfremd/Chinesischer Restsatz/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und seien
\mathbed {{\mathfrak a}_j} {}
{j=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_i + {\mathfrak a}_j
}
{ = }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \neq }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R/ {\mathfrak a}_1 \cdots {\mathfrak a}_n
}
{ \cong} { R/{\mathfrak a}_1 \times \cdots \times R/{\mathfrak a}_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Der allgemeine Fall folgt aus dem Fall für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so dass wir uns darauf beschränken. Die natürliche Abbildung
\maabbdisp {} {R} {R/ {\mathfrak a} \times R/{\mathfrak b}
} {}
hat den Durchschnitt
\mathl{{\mathfrak a} \cap {\mathfrak b}}{} als Kern. Dieser stimmt nach
Lemma 12.6
mit dem Produkt
\mathl{{\mathfrak a} \cdot {\mathfrak b}}{} überein und wir erhalten einen injektiven Ringhomomorphismus
\maabbdisp {} { R/ {\mathfrak a} \cdot {\mathfrak b} } {R/ {\mathfrak a} \times R/{\mathfrak b}
} {.}
Es ist also noch die Surjektivität nachzuweisen. Es sei dazu
\mathl{(r,s)}{} rechts gegeben. Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{ {\mathfrak b}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+b
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mathl{r-ar+s-sb}{} ein Urbild. Dieses Element wird ja in der ersten Komponente auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r-ar+s-sb
}
{ =} { r +s -s(1-a)
}
{ =} { r+s-s
}
{ =} { r
}
{ } {
}
}
{}{}{}
abgebildet und entsprechend in der zweiten Kompoente auf $s$.
\inputfaktbeweis
{Dedekindbereich/Chinesischer Restsatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei ${\mathfrak a}$ ein Ideal $\neq 0$ in einem
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
mit der eindeutigen Primidealzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { {\mathfrak p}_1^{r_1} \cdots {\mathfrak p}_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen natürlichen
\definitionsverweis {Ringisomorphismus}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R/ {\mathfrak a}
}
{ \cong} { R/ {\mathfrak p}_1^{r_1} \times \cdots \times R/ {\mathfrak p}_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Da Dedekindbereiche eindimensional sind und die Primideale in der Zerlegung verschieden sind, gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}_i + {\mathfrak p}_j
}
{ = }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \neq }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies überträgt sich direkt auf die Potenzen. Somit folgt die Aussage aus
Lemma 12.7.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq} {R
}
{ =} { \Z[X]/(X^2+3)
}
{ \subseteq} { \Z[Y]/(Y^2+Y+1)
}
{ =} {S
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{X \mapsto 2Y+1}{,} die beide quadratische Erweiterungen von $\Z$ sind und wobei $S$ der Ring der
\definitionsverweis {Eisenstein-Zahlen}{}{}
ist und die Normalisierung von $R$ ist. Der
\definitionsverweis {Faserring}{}{}
zu $R$ über $2$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(2) [X]/(X^2+3)
}
{ =} { \Z/(2) [X]/(X^2+1)
}
{ =} { \Z/(2) [X]/(X+1)^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
er ist also nicht reduziert. Der Fasering zu $S$ über $2$ ist
\mathdisp {\Z/(2) [Y]/(Y^2+Y+1)} { }
und dies ist ein Körper mit vier Elementen. In $S$ liegt die Zerlegung in Primideale
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(2)
}
{ = }{(2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vor. In $R$ kann man hingegen das Ideal $(2)$ nicht als ein Produkt von Primidealen schreiben. Das einzige Primideal oberhalb von $(2)$ in $R$ ist
\mathl{(2,X+1)}{.} Das Quadrat davon ist aber bereits
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (2,X+1) \cdot (2,X+1)
}
{ =} { (4,2X+2,X^2+2X+1 )
}
{ =} { (4,2X+2,X^2-1 )
}
{ =} { (4,2X+2)
}
{ \subset} { (2)
}
}
{}
{}{,}
wobei die letzte Inklusion echt ist. Der Restklassenring
\mathl{R/(4,2X+2)}{} besitzt $12$ Elemente.
}
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Faserring/Chinesischer Restsatz/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
In $R$ gelte die Idealzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (p)
}
{ =} { {\mathfrak p}_1^{r_1} \cdots {\mathfrak p}_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für den
\definitionsverweis {Faserring}{}{}
über $p$ die Produktzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R/pR
}
{ =} { R/{\mathfrak p}_1^{r_1} \times \cdots \times R/ {\mathfrak p}_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz 12.8.
Wir formulieren explizit die beiden folgenden Spezialfälle des chinesischen Restsatzes.
\inputfakt{Hauptidealbereich/Restklassenring/Chinesischer Restsatz/Fakt}{Korollar}{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} und
\mathbed {f\in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,} ein Element mit kanonischer
\definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {p_1^{r_1} { \cdots } p_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für den
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/(f)}{} die kanonische
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R/(f)
}
{ \cong} { R/(p_1^{r_1}) \times \cdots \times R/(p_k^{r_k})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
\inputfakt{Restklassenringe (Z)/Chinesischer Restsatz/Fakt}{Korollar}{}
{
\faktsituation {Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} { \cdots } p_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {die $p_i$ seien also verschieden und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ r_i
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}}
\faktfolgerung {Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen
\maabb {} {\Z/(n)} {\Z/(p_i^{r_i} )
} {}
einen
\definitionsverweis {Ringisomorphismus}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(n)
}
{ \cong} { \Z/(p_1^{r_1} ) \times \Z/(p_2^{r_2} ) \times \cdots \times \Z/(p_k^{r_k} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Zu gegebenen ganzen Zahlen
\mathl{(a_1,a_2 , \ldots , a_k)}{} gibt es also genau eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ < }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die die
\betonung{simultanen Kongruenzen}{}
\mathdisp {a= a_1 \mod p_1^{r_1}, \,\, a= a_2 \mod p_2^{r_2}, \, \ldots , \,\, a= a_k \mod p_k^{r_k}} { }
löst.}
\faktzusatz {}
}
\zwischenueberschrift{Die Multipliktivität der Norm}
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Idealnorm/Primidealzerlegung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei ${\mathfrak a}$ ein Ideal $\neq 0$ in einem
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
$R$ mit der eindeutigen Primidealzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { {\mathfrak p}_1^{r_1} \cdots {\mathfrak p}_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N( {\mathfrak a} )
}
{ =} { N( {\mathfrak p}_1)^{r_1} \cdots N( {\mathfrak p}_k)^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
dem chinesischen Restsatz für Zahlbereiche
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R/ {\mathfrak a}
}
{ =} { R/ {\mathfrak p}_1^{r_1} \times \cdots \times R/ {\mathfrak p}_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N( {\mathfrak a} )
}
{ =} { N( {\mathfrak p}_1^{r_1} ) \cdots N( {\mathfrak p}_k^{r_k} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist also nur noch die Aussage für eine Primidealpotenz ${\mathfrak p}^r$ zu zeigen. Dies geschieht durch Induktion über $r$, wobei der Induktionsanfang klar ist. Es liegt wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak p}^{r+1}
}
{ \subseteq }{{\mathfrak p}^{r}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathfrak p}^{r} / {\mathfrak p}^{r+1} \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, R/{\mathfrak p}^{r+1} \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, R/ {\mathfrak p}^{r} \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
vor. Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}^{r} / {\mathfrak p}^{r+1}
}
{ =} { {\mathfrak p}^{r} R_{\mathfrak p} / {\mathfrak p}^{r+1} R_{\mathfrak p}
}
{ =} { R_{\mathfrak p} / {\mathfrak p} R_{\mathfrak p}
}
{ =} { R/ {\mathfrak p}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Deshalb ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ N ({\mathfrak p}^{r+1})
}
{ =} { { \# \left( R/ {\mathfrak p}^{r+1} \right) }
}
{ =} { { \# \left( {\mathfrak p}^{r} / {\mathfrak p}^{r+1} \right) } \cdot { \# \left( R/ {\mathfrak p}^r \right) }
}
{ =} { { \# \left( R / {\mathfrak p} \right) } \cdot { \# \left( R/ {\mathfrak p}^r \right) }
}
{ =} { N ({\mathfrak p}) \cdot N ({\mathfrak p})^r
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { N ({\mathfrak p})^{r+1}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Idealnorm/Multiplikativ/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} , {\mathfrak b}
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
in $R$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N( {\mathfrak a} \cdot {\mathfrak b} )
}
{ =} { N( {\mathfrak a}) \cdot N( {\mathfrak b} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus Satz 12.13.
\inputbemerkung
{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
$R$ und einem Element
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
kann man folgendermaßen den zugehörigen
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
bzw. die Primidealzerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(f)
}
{ = }{ {\mathfrak p}_1^{r_1} \cdots {\mathfrak p}_k^{r_k}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
algorithmisch berechnen. Dabei arbeitet man im Restklassenring $R/(f)$ und man setzt voraus, dass für $R$ selbst eine Restklassendarstellung über $\Z$ vorliegt. Für den Restklassenring $R/(f)$ hat man dann ebenfalls eine Restklassendarstellung und man weiß, dass dieser endlich ist, also grundsätzlich algorithmisch beherrschbar ist. Das erste Problem ist, die Primideale in $R$ zu bestimmen, in denen $f$ enthalten ist, doch diese entsprechen den maximalen Idealen
\mathl{{\mathfrak m}_1 , \ldots , {\mathfrak m}_k}{} von $R/(f)$
\zusatzklammer {die zugehörigen Primideale in $R$ seien mit ${\mathfrak p}_i$ bezeichnet} {} {.}
Dabei liegt dann ein
\definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R/(f)
}
{ =} { R_1 \times \cdots \times R_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor, wobei die $R_j$
\definitionsverweis {lokal}{}{}
mit Restklassenkörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R/ {\mathfrak m}_j
}
{ = }{R/ {\mathfrak p}_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind. Wegen
Satz 12.8
weiß man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R/{\mathfrak p}_j^{r_j}
}
{ =} { R_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Man kann nun in $R_j$ die Exponenten $r_j$ jeweils als die minimalen Exponenten mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}_j^{r}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bestimmen. Bei der Bestimmung der Exponenten hilft auch die Norm. Nach
Satz 12.13
in Verbindung mit
Lemma 10.6
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { N(f) }
}
{ =} { { \# \left( R/(f) \right) }
}
{ =} { N( {\mathfrak p}_1)^{r_1} \cdots N( {\mathfrak p}_k)^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( R_j \right) }
}
{ =} { N( {\mathfrak p}_j )^{r_j}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
kann man wieder die Exponenten $r_j$ bestimmen.
}