Kurs:Analysis/Teil I/12/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	3	3	5	2	4	4	4	4	3	4	2	2	4	5	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein angeordneter Körper.
2. Eine Folge in einer Menge ${}M$.
3. Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper ${}K$.
4. Eine ${}n$-te komplexe Einheitswurzel ($n\in \mathbb {N} _{+}$).
5. Eine Treppenfunktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem beschränkten reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

6. Die Integralfunktion zum Startpunkt ${}a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
2. Der Satz über die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge

   $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   auf einer Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$.
3. Der Satz über die lineare Approximierbarkeit einer Funktion

   $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Negiere den Satz „Kein Schwein ruft mich an und keine Sau interessiert sich für mich“ durch (eine) geeignete Existenzaussage(n).

Aufgabe * (3 Punkte)

Die offizielle Berechtigung für die Klausurteilnahme werde durch mindestens ${}200$ Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.

Aufgabe * (2 Punkte)

Hans will sich ein Frühstücksei kochen. Im Moment, als er das Ei in das kochende Wasser eintaucht, zeigt seine Uhr ${}7:21$ (die Uhr läuft genau und hat keine Sekundenangabe). Als er das nächste Mal auf die Uhr schaut, zeigt sie ${}7:26$ an. Bestimme das Infimum, Minimum, Supremum, Maximum der Zeit, die das Ei zwischen den beiden Momenten im Wasser ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl mit ${}\vert {z}\vert <1$. Zeige, dass die Folge ${}{\left(z^{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin n}{n^{2}}}$

konvergiert.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Überabzählbarkeit von ${}\mathbb {R}$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von ${}\mathbb {Q}$ nach ${}\mathbb {Q}$ nicht gelten muss.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme, ob die Familie

${\frac {1}{q^{2}}},\,q\in \mathbb {Q} \,\cap \,[2,3],$

summierbar ist oder nicht.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für ${}x\in \mathbb {R}$, ${}x\geq 1$, die Gleichheit

${}\,\operatorname {arcosh} \,x\,=\ln {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

zwei differenzierbare Funktionen und sei

${}h(x)=(g(f(x)))^{2}f(g(x))\,.$

a) Drücke die Ableitung ${}h'$ mit den Ableitungen von ${}f$ und ${}g$ aus.

b) Es sei nun

$f(x)=x^{2}-1{\text{ und }}g(x)=x+2.$

Berechne ${}h'(x)$ auf zwei verschiedene Arten, einerseits über ${}h(x)$ und andererseits über die Formel aus Teil a).

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Bestimme die Ableitung (auf den jeweiligen Definitionsbereichen) der folgenden Funktionen:

a) ${}\tan x$,

b) ${}\arctan x$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme für die Funktionen ${}\sin ^{n}x$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte auf ${}[0,{\frac {\pi }{2}}]$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen ${}x\mapsto x^{\alpha }$.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

a) Unterteile das Intervall ${}[-4,5]$ in sechs gleichgroße Teilintervalle.

b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf ${}[-4,5]$, die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte ${}2$ und ${}-1$ annimmt.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}.$

a) Bestimme zu einer Geraden ${}y=sx$, ${}s>0$, die Schnittpunkte mit dem Graphen von ${}f$.

b) Zu einer gegebenen Geraden aus Teil (a) legen der Schnittpunkt ${}(c,d)$ mit ${}c>0$, sein Basispunkt ${}(c,0)$ und der Nullpunkt ${}(0,0)$ ein Dreieck fest. Zeige, dass der Graph von ${}f$ dieses Dreieck in zwei gleich große Flächen zerlegt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetig mit

${}\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0\,$

für jede stetige Funktion ${}g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$. Zeige ${}f=0$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$. Finde eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung, für die ${}f$ eine Lösung ist.