Kurs:Analysis/Teil I/2/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	5	4	4	7	2	4	5	7	2	3	4	5	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Produktmenge aus zwei Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

   $F\colon L\longrightarrow M$

   und

   $G\colon M\longrightarrow N.$

3. Ein Häufungspunkt einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
4. Die komplexe Exponentialfunktion.
5. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

6. Die gewöhnliche Differentialgleichung zu einer Funktion

   $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die allgemeine binomische Formel für ${}(a+b)^{n}$.
2. Der Identitätssatz für Potenzreihen.
3. Die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne die Gaußklammer von ${}-{\frac {133}{3}}$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige mittels vollständiger Induktion für ${}n\geq 1$ die Formel

${}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}k={\begin{cases}{\frac {n}{2}}{\text{ bei }}n{\text{ gerade}},\\-{\frac {n+1}{2}}{\text{ bei }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}\,$

Aufgabe * (4 Punkte)

Betrachte die Folge ${}x_{n}=(-1)^{n}$ und ${}x=-1$. Welche der Pseudokonvergenzbegriffe (siehe Angeordneter Körper/Folge/Pseudokonvergenz/Pseudo/Definition) treffen zu?

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne

$2^{\frac {9}{10}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion zu einer streng wachsenden, stetigen Funktion ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$, zu einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine bijektive differenzierbare Funktion mit ${}f'(x)\neq 0$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ und der Umkehrfunktion ${}f^{-1}$. Was ist an folgendem „Beweis“ für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?

Es ist

${}{\left(f\circ f^{-1}\right)}(y)=y\,.$

Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung

${}f'{\left(f^{-1}(y)\right)}{\left(f^{-1}\right)}'(y)=1\,.$

Also ist

${}{\left(f^{-1}\right)}'(y)={\frac {1}{f'{\left(f^{-1}(y)\right)}}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x),$

eine differenzierbare Funktion mit ${}f(0)=1$ und mit ${}f'(x)=\lambda f(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ und ein ${}\lambda \in \mathbb {R}$. Zeige, dass ${}f$ die Funktionalgleichung

$f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$

für alle ${}x,y\in \mathbb {R}$ erfüllt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

$f(x)=x^{2}+x-{\frac {7}{4}}.$

Zu jedem Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R}$ betrachten wir die reelle Folge

$x_{n}=f^{n}(x_{0}),$

es gilt also die rekursive Beziehung ${}x_{n+1}=f(x_{n})$. Zeige, dass die Folge für ${}x_{0}\in [-2,1]$ einen Häufungspunkt besitzt.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise die Charakterisierung mit Ableitungen von konvexen Funktionen ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin ^{2}\left(\cos x\right).$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}4$ zur Funktion

${}f(x)=\sin x\,$

im Entwicklungspunkt ${}\pi /2$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.

Aufgabe * (5 Punkte)

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall ${}[6,22]$ (in Stunden) durch die Funktion

$f\colon [6,22]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=-t^{3}+27t^{2}-120t,$

beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, so dass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung (${}y>0$)

$y'=t^{2}y^{3}$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?

Anhang

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei ${}x\in K$.

1. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ hypervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, und alle ${}n\in \mathbb {N}$ gilt die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,.$

2. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ supervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon \geq 0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

3. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ megavergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ und jedes ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

4. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ pseudovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n\in \mathbb {N}$ derart, dass die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

5. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ semivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, und jedem ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ gibt es ein ${}n\in \mathbb {N}$, ${}n\geq n_{0}$, derart, dass die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

6. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ protovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, derart, dass für alle ${}n\in \mathbb {N}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

7. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ quasivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, und ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

8. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ deuterovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}x_{n}-x\leq \epsilon \,$

   gilt.