Kurs:Analysis/Teil I/32/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	6	2	5	1	1	4	3	3	3	4	3	6	4	4	5	65

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Ein Flugzeug soll von Osnabrück aus zu einem Zielort auf der Südhalbkugel fliegen. Kann es kürzer sein, in Richtung Norden zu fliegen?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (beginnend bei ${}1$) stets eine Quadratzahl ist.

Aufgabe * (6 (1+1+1+2+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}F(x)$	${}3$	${}5$	${}1$	${}7$	${}8$	${}2$	${}6$	${}4$

gegebene Abbildung ${}F$ von

${}M=\{1,2,\ldots ,8\}\,$

in sich selbst.

1. Erstelle eine Wertetabelle für ${}F^{2}=F\circ F$.
2. Erstelle eine Wertetabelle für ${}F^{3}=F\circ F\circ F$.
3. Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen ${}F^{n}$ bijektiv sind.
4. Bestimme für jedes ${}x\in M$ das minimale ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ mit der Eigenschaft, dass

   ${}F^{n}(x)=x\,$

   ist.

5. Bestimme das minimale ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ mit der Eigenschaft, dass

   ${}F^{n}(x)=x\,$

   für alle ${}x\in M$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Heinz Ngolo und Mustafa Müller wollen wissen, wie viele Kaulquappen sich im Teich im Wald befinden. Der Teich ist einen Meter tief und ist quadratisch mit einer Seitenlänge von zehn Metern, die Kaulquappen sind darin gleichmäßig verteilt. Heinz hat eine Teekanne dabei, in die ein halber Liter Wasser hineinpasst. Sie trinken den Tee leer und füllen die Kanne mit Teichwasser. Sie zählen, dass in der Kanne genau ${}23$ Kaulquappen sind und schütten alles zurück. Wie viele Kaulquappen befinden sich im Teich?

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a\in K$ ein beliebiges Element. Bestimme, welche Potenzen ${}a^{n}$ man (ausgehend von ${}a$ und bei optimaler Verwertung von Zwischenschritten) mit einer, zwei, drei oder vier Multiplikationen erhalten kann.

Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Skizziere die Funktion

$\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto -\left\lfloor -x\right\rfloor .$

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Negiere die Aussage, dass eine Folge ${}x_{n}$ in einem angeordneten Körper gegen ${}x$ konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in ${}K$. Es gelte ${}x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$ und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$. Zeige, dass dann auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert ${}a$ konvergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass

${}z={\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\,$

eine Nullstelle des Polynoms

$X^{3}+3X+2$

ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man erläutere den Unterschied zwischen dem Produkt und der Hintereinanderschaltung von zwei Funktionen

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

anhand typischer Beispiele. Wir ordnet sich die Kettenregel in diesen Fragekomplex ein?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz von Rolle.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige mit Hilfe der Jensensschen Ungleichung, angewendet auf die konkave Logarithmusfunktion, die allgemeine Abschätzung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel, also die Aussage, dass für ${}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung

${}{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\,$

gilt.

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Zeige, dass man mit Hilfe von Beispiel 22.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und drei Summanden (also ${}m=2$) auf dem Intervall ${}[-{\frac {5}{3}},{\frac {5}{3}}]$ eine polynomiale Abschätzung für den Kosinus mit einem Fehler ${}\leq {\frac {1}{9}}$ enthält.
2. Zeige mit der Abschätzung aus (1), dass

   ${}{\frac {\pi }{2}}>{\frac {4}{3}}\,$

   gilt.

3. Kann man mit der Abschätzung aus (1) auch zeigem, dass

   ${}{\frac {\pi }{2}}<{\frac {5}{3}}\,.$

   ist?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Der Graph der Funktion

${}f(x)=-x^{2}+5x\,$

und die ${}x$-Achse begrenzen eine Fläche. Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die diese Fläche in zwei gleich große Teile unterteilt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Flächeninhalt zwischen den Graphen der Exponentialfunktion und der Kosinusfunktion auf dem Intervall ${}[0,\pi /2]$. Skizziere die Situation.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde die Lösung des Anfangwertproblems

${}y'=e^{t-y}\,$

mit

${}y(0)=5\,.$