Kurs:Analysis/Teil I/47/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	3	5	5	4	4	4	2	2	1	5	4	3	7	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Binomialkoeffizient ${}{\binom {n}{k}}$.
2. Der Betrag einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$.
3. Ein isoliertes lokales Maximum einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
4. Die Exponentialreihe zu einer komplexen Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$.
5. Die ${}n$-fache Differenzierbarkeit einer Funktion

   $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

6. Eine Treppenfunktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem beschränkten reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die allgemeine binomische Formel für ${}(a+b)^{n}$.
2. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion

   $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   in einem Punkt

   ${}a\in {\mathbb {K} }$.
3. Das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.

Aufgabe (3 Punkte)

Man erläutere die Aussage, dass man in der Mathematik auch „Extremfälle“ berücksichtigen muss, an typischen Beispielen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}A,\,B$ und ${}C$ Mengen. Beweise die Identität

${}A\setminus {\left(B\setminus C\right)}={\left(A\setminus B\right)}\cup {\left(A\cap C\right)}\,.$

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

1. Finde eine ganzzahlige Lösung ${}(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,.$

2. Zeige, dass

   $\left({\frac {383}{1000}},\,{\frac {129}{100}}\right)$

   eine Lösung für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,$

   ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien ${}n$ Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere und beweise eine Formel (in Abhängigkeit von ${}n$) für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die ganzzahligen Lösungen ${}x\neq 0$ der Ungleichung

${}{\frac {\,\,{\frac {3}{x}}\,\,}{\,\,{\frac {-7}{4}}\,\,}}>-1\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$. Zeige, dass die Produktfolge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$

ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}\sum _{n=0}^{n}a_{n}$ eine reelle Reihe mit ${}a_{n}\neq 0$ für alle ${}n$. Die Folge der Quotienten

${}x_{n}={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\,$

konvergiere gegen eine reelle Zahl ${}x$ mit ${}-1<x<1$. Zeige unter Verwendung des Quotientenkriteriums, dass die Reihe konvergiert.

Aufgabe (2 Punkte)

Ene und Odo wissen beide über eine reelle Zahl ${}x$, dass sie zwischen ${}0$ und ${}1$ liegt. Ene weiß, dass die Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) von ${}x$ die Form

${}x=0,73*******...\,$

besitzt, Odo weiß, dass die Ziffernentwicklung die Form

${}x=0,**5143***...\,$

(${}*$ bedeutet, dass keine Information über diese Stelle vorhanden ist). Wer weiß mehr über die Zahl?

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit ${}c_{n}=0$ für alle geraden Indizes eine ungerade Funktion darstellt.

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen der Sinusfunktion.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall,

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}a\in I$ ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte ${}f'(a)=0$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Wenn ${}f^{\prime \prime }(a)>0$ ist, so besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes lokales Minimum.
2. Wenn ${}f^{\prime \prime }(a)<0$ ist, so besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes lokales Maximum.

Aufgabe * (4 (1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Exponentialfunktion ${}e^{x}$ auf einem Intervall der Form ${}[a,a+1]$.

1. Bestimme den Mittelwert (Durchschnittswert) der Exponentialfunktion auf ${}[a,a+1]$.
2. Bestimme den Punkt ${}c\in [a,a+1]$, in dem die Exponentialfunktion den Durchschnittswert annimmt.
3. Was fällt auf?

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von

${}f(x)=-e^{\sin x}\cos x-e^{x}\sin \left(e^{x}\right)+{\frac {7x}{x^{2}+3}}\,.$

Aufgabe * (7 (2+2+3) Punkte)

Die sogenannten Bernoulli-Polynome ${}B_{n}$ für ${}n\in \mathbb {N}$ sind Polynome vom Grad ${}n$, die rekursiv definiert werden: ${}B_{0}$ ist das konstante Polynom mit dem Wert ${}1$. Das Polynom ${}B_{n+1}$ berechnet sich aus dem Polynom ${}B_{n}$ über die beiden Bedingungen: ${}B_{n+1}$ ist eine Stammfunktion von ${}(n+1)B_{n}$ und es ist

${}\int _{0}^{1}B_{n+1}(x)dx=0\,.$

1. Berechne ${}B_{1}$.
2. Berechne ${}B_{2}$.
3. Berechne ${}B_{3}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass das Anfangswertproblem

${}y'=3y^{2/3}=3{\sqrt[{3}]{y^{2}}}\,$

mit ${}y(0)=0$ zwei verschiedene Lösungen auf ${}\mathbb {R}$ besitzt. Warum kann man hier den Lösungssatz für zeitunabhängige Differentialgleichungen nicht anwenden?