Kurs:Analysis/Teil I/57/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 3 1 1 2 1 4 3 4 6 6 3 2 7 2 7 6 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Betrag eines Elementes in einem angeordneten Körper .
  2. Die reelle Exponentialfunktion zur Basis .
  3. Das Cauchy-Produkt von zwei komplexen Reihen.
  4. Die -fache Differenzierbarkeit einer Funktion
  5. Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion
  6. Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die gleichmäßige Stetigkeit auf einem Intervall.
  2. Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produkts von Reihen.
  3. Der Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine endliche Menge und eine Abbildung. Es sei die -fache Hintereinanderschaltung von mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen mit gibt.


Aufgabe * (1 Punkt)

Zeige, dass zwischen den Binomialkoeffizienten und der Zusammenhang

besteht.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine nichtnegative reelle Zahl. Für jedes , gelte . Zeige .


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

und

über .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und drei Folgen in . Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.


Aufgabe * (3 Punkte)

Vergleiche


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

ein reelles Polynom mit . Man gebe in Abhängigkeit von den Koeffizienten eine Schranke derart an, dass

für alle gilt.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom vom Grad derart gibt, dass für alle ist.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

zwei absolut konvergente Potenzreihen in . Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch

gegeben ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Funktion für .


Aufgabe * (7 Punkte)

Betrachte die Funktion

Finde derart, dass

gilt.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die Ableitung .

b) Bestimme die zweite Ableitung .


Aufgabe * (7 (5+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von .

b) Bestimme eine Stammfunktion von für .


Aufgabe * (6 (1+4+1) Punkte)

Ein zylindrischer Behälter (eine Tonne) enthält Wasser mit der Anfangshöhe und am Boden eine Ausflussmöglichkeit. Nach dem Ausflussgesetz von Torricelli gilt für den Ausfluss (gemessen in Ausflussmenge pro Zeiteinheit, ist eine positive Konstante)

Dabei ist die Ausflussgeschwindigkeit proportional zur Höhenänderung des Wasserstandes, also mit einer weiteren positiven Konstanten .

  1. Bestimme eine Differentialgleichung für die Höhenfunktion .
  2. Löse diese Differentialgleichung für die Parameter und die Anfangshöhe Meter, wenn der Ausflussprozess zum Zeitpunkt startet.
  3. Wann ist die Tonne leer?