Kurs:Analysis/Teil I/Test 4/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 4 | 4 | 5 | 5 | 3 | 3 | 8 | 4 | 3 | 2 | 6 | 5 | 3 | 2 | 4 | 4 | 65 |
Aufgabe * (4 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Stetigkeit in einem Punkt einer Abbildung .
- Die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion
auf einer Teilmenge .
- Das Cauchy-Produkt von zwei komplexen Reihen.
- Die Exponentialreihe zu einer komplexen Zahl .
- Die Supremumsnorm einer Funktion
auf einer Menge .
- Der natürliche Logarithmus
- Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion
- Die Zahl (gefragt ist nach der analytischen Definition).
Aufgabe * (4 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .
- Der Zwischenwertsatz.
- Die Kettenregel für differenzierbare Abbildungen.
- Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)
Es seien
Funktionen.
a) Zeige die Gleichheit
b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit
nicht gelten muss.
Aufgabe * (5 Punkte)
Zeige, dass die Funktion
mit
nur im Nullpunkt stetig ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ist?
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (8 Punkte)
Beweise den Satz über das angenommene Maximum einer Funktion
Aufgabe * (4 Punkte)
Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.
Aufgabe * (3 Punkte)
Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel
mit Hilfe von
Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)
Es sei und .
a) Bestimme die Ableitung von und von .
b) Berechne die Hintereinanderschaltung .
c) Bestimme die Ableitung von mit Hilfe von Teil b).
d) Bestimme die Ableitung von mittels der Kettenregel.
Aufgabe * (5 Punkte)
Wir betrachten eine Funktion der Form
wobei und lineare Polynome seien. Zeige durch Induktion, dass für die Ableitungen () die Beziehung
gilt.
Aufgabe * (3 Punkte)
Zeige, dass die Funktion streng wachsend ist.
Aufgabe * (2 Punkte)
Zeige, dass der natürliche Logarithmus eine konkave Funktion ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme das Taylor-Polynom der Funktion im Entwicklungspunkt der Ordnung .
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion