Kurs:Analysis/Teil II/13/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	${}\sum$
Punkte	3	3	3	6	9	3	4	5	5	6	5	9	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Metrik auf einer Menge ${}M$.
2. Eine Lipschitz-stetige Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M$

   zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$.

3. Ein (zeitabhängiges) Vektorfeld auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
4. Die partielle Differenzierbarkeit einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt ${}P=\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$.
5. Eine Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.
6. Die Integrabilitätsbedingung eines differenzierbaren Vektorfeldes

   $G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$

   wobei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Formel für die Bogenlänge des Graphen einer stetig differenzierbaren Funktion

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

2. Der Satz über die Beziehung zwischen der Definitheit der Hesse-Form und Extrema einer Funktion

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$.
3. Der Satz über den Zusammenhang von Anfangswertproblemen und Integralgleichungen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}P\in M$ ein Punkt. Zeige, dass ${}\{P\}$ abgeschlossen ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Aussage, dass eine Folge ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ im ${}\mathbb {R} ^{m}$ (versehen mit der euklidischen Metrik) genau dann konvergiert, wenn sämtliche Komponentenfolgen konvergieren.

Aufgabe * (9 Punkte)

Beweise den Fundamentalsatz der Algebra.

Aufgabe * (3 Punkte)

Von einer Bewegung

$\varphi \colon ]0,{\frac {\pi }{2}}[\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

sei der Geschwindigkeitsverlauf

${}\varphi '(t)=\left({\frac {1}{t}},\,\tan {\left(t\right)},\,e^{-t}\right)\,$

bekannt. Ferner sei

${}\varphi {\left({\frac {\pi }{4}}\right)}=(0,0,0)\,$

bekannt. Bestimme ${}\varphi (t)$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-2&7\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y^{\prime \prime }=y'y+\sin t{\text{ mit }}y(0)=0{\text{ und }}y'(0)=1$

mit einem Potenzreihenansatz bis zur Ordnung ${}5$.

Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Es sei ${}f$ ein reelles Polynom in ${}n$ Variablen mit der Eigenschaft, dass sämtliche in ${}f$ vorkommenden Monome den gleichen Grad ${}d$ haben. Es ist also

${}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})\,,\sum _{j}r_{j}=d}a_{r}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}\,.$

1. Zeige

   ${}f(tx_{1},tx_{2},\ldots ,tx_{n})=t^{d}\cdot f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,$

   für ${}t\in \mathbb {R}$.

2. Zeige, dass ${}f$ kein isoliertes lokales Extremum in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$, ${}P\neq \left(0,\,0,\,\ldots ,\,0\right)$ besitzt.
3. Es sei ${}d$ ungerade. Zeige, dass ${}f$ kein isoliertes lokales Extremum im Nullpunkt besitzt.

Aufgabe * (6 (1+5) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$[1,2]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t)={\frac {1}{t}}.$

1. Beschreibe den Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu ${}g$ zur Intervallunterteilung ${}1\leq x\leq y\leq 2$ in Abhängigkeit von ${}x$ und ${}y$.
2. Bestimme das Punktepaar ${}(x,y)$ zwischen ${}1$ und ${}2$, für das der Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu ${}g$ zur Intervallunterteilung ${}1\leq x\leq y\leq 2$ maximal wird. Welchen Wert hat dieser Flächeninhalt?

Aufgabe * (5 Punkte)

Formuliere und beweise die Mittelwertabschätzung für eine stetig differenzierbare Funktion

$\varphi \colon G\longrightarrow W,$

(${}G\subseteq V$ offen, ${}V,W$ euklidische Vektorräume).

Aufgabe * (9 (1+2+1+5) Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+2y^{2}.$

a) Bestimme das zugehörige Gradientenfeld ${}\operatorname {Grad} \,f$.

b) Beschreibe die Lösungskurven zur zugehörigen Differentialgleichung

${}v'=\operatorname {Grad} \,f(v)\,$

zu einer Anfangsbedingung

${}v(0)={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\,.$

c) Bestimme in Abhängigkeit von ${}(a,b)$ den Ort, wo sich die Lösung zum Zeitpunkt ${}t=1$ befindet.

d) Wir beschränken uns nun auf Anfangsbedingungen

${}v(0)={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\,$

mit

${}f(a,b)=1\,.$

Für welchen dieser Anfangspunkte ist der Wert von ${}f$ am Ortspunkt der Lösung zum Zeitpunkt ${}t=1$ extremal?

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten den Subgraphen zur positiven Standardparabel, also

${}S={\left\{(x,y)\mid x\in \mathbb {R} _{\geq 0},\,0\leq y\leq x^{2}\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}S$ nicht sternförmig ist.