Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Vorlesung 79/latex
\setcounter{section}{79}
\zwischenueberschrift{Produkte von Mannigfaltigkeiten}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
zwei
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{}
mit den
\definitionsverweis {Atlanten}{}{}
\mathkor {} {(U_i,U_i',\alpha_i, i \in I)} {und} {(V_j,V_j',\beta_j, j \in J)} {.}
Dann nennt man den
\definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{M \times N}{} mit den
\definitionsverweis {Karten}{}{}
\maabbdisp {\alpha_i \times \beta_j} {U_i \times V_j} { U_i' \times V_j'
} {}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ (i,j)
}
{ \in }{ I \times J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ U_i' \times V_j'
}
{ \subseteq }{ \R^m \times \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
das \definitionswort {Produkt der Mannigfaltigkeiten}{}
\mathkor {} {M} {und} {N} {.}
}
Es handelt sich dabei in der Tat um eine Mannigfaltigkeit, siehe
Aufgabe 79.1.
Eine Produktmannigfaltigkeit der Form
\mathl{M \times \R}{} nennt man auch \stichwort {Zylinder} {} über $M$. Zu abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ \R^\ell
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ \subseteq }{ \R^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Produktmannigfaltigkeit
\mathl{M \times N}{} eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R^\ell \times \R^k
}
{ = }{ \R^{\ell + k}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
siehe
Aufgabe 79.2.
\inputfaktbeweis
{Produkt von Mannigfaltigkeiten/Abbildungseigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{}
und
\mathl{M \times N}{} ihr
\definitionsverweis {Produkt}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Die
\definitionsverweis {Projektionen}{}{}
\maabbeledisp {p_1} {M \times N} {M
} {(x,y)} {x
} {,}
und
\maabbeledisp {p_2} {M \times N} {N
} {(x,y)} {y
} {,}
sind
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildungen}{}{.}
}{Der
\definitionsverweis {Tangentialraum}{}{}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ (P,Q)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_R(M \times N)
}
{ = }{ T_PM \times T_QN
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es sei $L$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann ist eine Abbildung
\maabbeledisp {\varphi \times \psi} {L} {M \times N
} {u} { (\varphi(u), \psi(u))
} {,}
genau dann differenzierbar, wenn die
\definitionsverweis {Komponentenabbildungen}{}{}
\mathkor {} {\varphi} {und} {\psi} {}
differenzierbar sind.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1). Durch Übergang zu Karten können wir annehmen, dass
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
\definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{}
im
\mathkor {} {\R^m} {bzw. im} {\R^n} {}
sind. In diesem Fall handelt es sich um eine
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
der
\definitionsverweis {linearen Projektion}{}{}
\maabb {} {\R^m \times \R^n } {\R^m
} {,}
die
nach Proposition 45.3
\definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{}
ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Die differenzierbaren Projektionen
\maabb {p_1} {M \times N} {M
} {}
und
\maabb {p_2} {M \times N} {N
} {}
liefern die linearen
\definitionsverweis {Tangentialabbildungen}{}{}
\maabb {T_R(p_1)} {T_R(M \times N)} {T_PM
} {}
und
\maabb {T_R(p_2)} {T_R(M \times N)} {T_QN
} {}
und damit insgesamt die lineare Abbildung
\maabbdisp {T_R(p_1) \times T_R(p_2)} { T_R(M \times N)} {T_PM \times T_QN} {.}
Zum Nachweis der Bijektivität kann man zu Karten übergehen und annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ \R^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offene Teilmengen sind. Diese Abbildung wird dann zur Bijektion
\maabbdisp {p_1 \times p_2} {\R^{m+n} } { \R^m \times \R^n
} {.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3). Für einen fixierten Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man unter Verwendung von Kartenumgebungen von $A$ und von
\mathkor {} {\varphi(A)} {und} {\psi(A)} {}
sich darauf zurückziehen, dass alle drei Mannigfaltigkeiten offene Mengen in euklidischen Räumen sind. Wenn beide Abbildungen stetig differenzierbar sind, so folgt nach
Aufgabe 45.6
die stetige Differenzierbarkeit der Gesamtabbildung. Die Umkehrung ist klar.}
{}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Toroidal_coord.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Toroidal coord.png } {} {Dave Burke} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputbeispiel{}
{
Das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
der
\definitionsverweis {Kreislinie}{}{}
mit sich selbst, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ S^1 \times S^1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
heißt \stichwort {Torus} {.} Dies ist eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit. Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^1
}
{ \subset }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{}
ist, lässt sich der Torus als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R^2 \times \R^2
}
{ = }{ \R^4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
realisieren. Sie lässt sich aber auch als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im $\R^3$ realisieren. Dazu seien
\mathkor {} {r} {und} {R} {}
positive reelle Zahlen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ < }{ r
}
{ < }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist die Menge
\mathdisp {{ \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid { \left( \sqrt{x^2+y^2} -R \right) }^2 +z^2 = r^2 \right\} }} { }
ein Torus. Es handelt sich bei dieser Realisierung um die Oberfläche eines
\zusatzklammer {aufgeblasenen} {} {}
\anfuehrung{Fahrradschlauches}{,} dessen \anfuehrung{Radradius}{} gleich $R$ und dessen \anfuehrung{Schlauchradius}{} gleich $r$ ist
\zusatzklammer {das Rad liegt in der \mathlk{x-y}{-}Ebene} {} {.}
Der Zusammenhang mit dem Produkt
\mathl{S^1 \times S^1}{} ergibt sich, indem man dem Produktwinkel
\mathl{( \varphi, \psi)}{} den Punkt
\mathl{( (R +r \cos \psi) \cos \varphi, (R+ r \cos \psi ) \sin \varphi , r \sin \psi )}{} zuordnet.
}
\zwischenueberschrift{Das Dachprodukt}
Unsere Zielsetzung für die folgenden Wochen ist es, eine sinnvolle Volumentheorie auf Mannigfaltigkeiten zu entwickeln. Was ist beispielsweise der Flächeninhalt einer gekrümmten Fläche wie der Oberfläche einer Kugel? Jeder Tangentialraum in einem Punkt einer Mannigfaltigkeit ist ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und besitzt daher Borel-Lebesgue-Maße, die allerdings nur bis auf die Multiplikation mit einem Skalar wohlbestimmt sind. Für eine sinnvolle Maßtheorie müssen diese Maße in einer kontrollierbaren Weise von den Punkten der Mannigfaltigkeit abhängen. Dies kann man am besten mit Differentialformen erreichen, die wir schon erwähnt haben und bald studieren werden.
Ihre Konstruktion erleichtert sich wesentlich durch die sogenannten Dachprodukte eines Vektorraumes. Dachprodukte hängen stark mit Determinanten und allgemeiner mit multilinearen alternierenden Formen zusammen. Für die Existenz der Dachprodukte brauchen wir Restklassenräume. Diese beruhen auf einer fundamentalen algebraischen Konstruktion, für die wir auf einen Anhang verweisen.
Wir erinnern an multilineare und alternierende Abbildungen.
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei
\mathl{n \in \N}{} und
\maabbdisp {\triangle} {V^n = \underbrace{V \times \cdots \times V}_{n\text{-mal} } } {W
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
in einen weiteren $K$-Vektorraum $W$. Man nennt $\triangle$ \definitionswort {multilinear}{,} wenn für jedes
\mathl{i \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{} und jedes $(n-1)$-Tupel
\mathdisp {(v_1 , \ldots , v_{i-1} , v_{i+1} , \ldots , v_n)} { }
die induzierte Abbildung
\maabbeledisp {} {V} {W
} {u} { \triangle ( v_1 , \ldots , v_{i-1} , u, v_{i+1} , \ldots , v_n )
} {,}
\definitionsverweis {linear}{}{}
ist.
Eine multilineare Abbildung $\triangle$ heißt \definitionswort {alternierend}{,} wenn folgendes gilt: Falls in
\mathl{v= (v_1 , \ldots , v_{ n })}{} zwei Einträge übereinstimmen, also
\mathl{v_i=v_j}{} für ein Paar
\mathl{i \neq j}{,} so ist
\mathl{\triangle (v)=0}{.}
Das wichtigste Beispiel ist die Determinante, die eng mit der Volumenmessung zusammenhängt. Für die Maßthorie auf Mannigfaltigkeiten brauchen wir ein Konzept, dass für jeden Punkt eine infinitesimale Volumenform beschreibt, und dafür braucht man in jedem Tangentialraum eine Determinante. Da es allerdings keine Einheitswürfel in den Tangentialräumen gibt, wird es keine eindeutig bestimmte Determinantenfunktion geben, sondern verschiedene Determinantenfunktionen, die sich punktweise um einen Skalar unterscheiden. Ferner möchten wir nicht nur volldimensionalen Objekten ein Volumen zuordnen, sondern auch kleinerdimensionalen Objekten, wofür wir alternierende Formen von kleinerem Grad brauchen. Hier entwickeln wir die dazu benötigte lineare Algebra.
\inputkonstruktion{}
{
Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
\mathl{n \in \N}{.} Wir konstruieren das sogenannte $n$-te \stichwort {Dachprodukt} {} von $V$ mit sich selbst, geschrieben
\mathl{\bigwedge^n V}{.} Dazu betrachten wir die Menge $S$ aller Symbole der Form
\mathdisp {{(v_1 , \ldots , v_n)} \text{ mit } v_i \in V} { }
und die zugehörige Menge der
\mathl{e_{ (v_1 , \ldots , v_n) }}{.} Wir betrachten den Vektorraum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H
}
{ =} { K^{(S)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
das ist die Menge aller
\zusatzklammer {endlichen} {} {}
Summen
\mathdisp {a_1 e_{s_1} + \cdots + a_ke_{s_k} \text{ mit } a_i \in K \text{ und } s_i \in S} { , }
die $e_s$ bilden eine Basis. Dies ist mit der natürlichen Addition und der natürlichen Skalarmultiplikation ein Vektorraum, und zwar ein Untervektorraum des Abbildungsraumes
\mathl{\operatorname{Abb} \,(S,K)}{}
\zusatzklammer {es handelt sich bei $H$ um die Menge derjenigen Vektoren, die für fast alle Elemente
\mathl{s \in S}{} den Wert $0$ haben} {} {.}
In $H$ betrachten wir den Untervektorraum $U$, der von den folgenden Elementen erzeugt wird
\zusatzklammer {die man die \stichwort {Standardrelationen} {} des Dachprodukts nennt} {} {.}
\mathdisp {e_{(v_1 , \ldots , v_{i-1} , v +w , v_{i+1} , \ldots , v_{n})} - e_{(v_1 , \ldots , v_{i-1} , v , v_{i+1} , \ldots , v_{n})} - e_{(v_1 , \ldots , v_{i-1} , w , v_{i+1} , \ldots , v_{n})}} { }
für beliebige
\mathl{v_1 , \ldots , v_{i-1},v_{i+1} , \ldots , v_n,v,w \in V}{.}
\mathdisp {e_{(v_1 , \ldots , v_{i-1} , a v , v_{i+1} , \ldots , v_{n})} - a e_{(v_1 , \ldots , v_{i-1} , v , v_{i+1} , \ldots , v_{n})}} { }
für beliebige
\mathl{v_1 , \ldots , v_{i-1},v_{i+1} , \ldots , v_n,v \in V}{} und
\mathl{a \in K}{.}
\mathdisp {e_{(v_1 , \ldots , v_{i-1} , v , v_{i+1} , \ldots , v_{j-1} , v, v_{j+1} , \ldots , v_{n}) }} { }
für
\mathl{i<j}{} und beliebige
\mathl{v_1 , \ldots , v_{i-1},v_{i+1} , \ldots ,, v_{j-1},v_{j+1} , \ldots , v_n,v \in V}{.}
Dabei ist der Leitgedanke, die Regeln, die für eine alternierende multilineare Abbildung gelten müssen, dadurch zu erzwingen, dass man die obigen Relationen zu $0$ macht. Der erste Typ repräsentiert die Additivität in jedem Argument, die zweite die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation, die dritte die alternierende Eigenschaft.
Man setzt nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigwedge^n V
}
{ \defeq} { H/U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. man bildet den
\definitionsverweis {Restklassenraum}{}{}
von $H$ modulo dem Unterraum $U$.
}
Die Elemente
\mathl{e_{(v_1 , \ldots , v_n)}}{} bilden dabei ein Erzeugendensystem von $H$. Die Restklasse von
\mathl{e_{(v_1 , \ldots , v_n)}}{} modulo $U$ bezeichnen wir mit\zusatzfussnote {
Es ist nicht einfach, sich unter den Ausdrücken
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_n}{} bzw. $\wedge$ etwas vorzustellen. Wichtiger als die \anfuehrung{Bedeutung}{} dieser Symbole ist ihr Transformationsverhalten und die Rechenregeln, die dafür gelten. Erst der operative Umgang mit diesen Symbolen lässt die Bedeutung entstehen. Wenn man aber eine ungefähre Vorstellung haben möchte, so kann man sagen, dass
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_n}{} das von den Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{}
\definitionsverweis {erzeugte \anfuehrung{orientierte}{} Parallelotop}{}{} in $V$ repräsentiert. Das Dachprodukt
\mathl{\bigwedge^n V}{} besteht dann aus Linearkombinationen von solchen Parallelotopen.
} {} {}
\mathdisp {v_1 \wedge \ldots \wedge v_n} { . }
Die Standardrelationen werden dann zu den Rechenregeln\zusatzfussnote {Es gilt die Klammerungskonvention \anfuehrung{Dachprodukt vor Punktrechnung}{,} d.h. der Ausdruck
\mathl{a v_1 \wedge \ldots \wedge v_n}{} ist als
\mathl{a (v_1 \wedge \ldots \wedge v_n)}{} zu lesen. Es gelten aber ohnehin die Gleichheiten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a (v_1 \wedge \ldots \wedge v_n)
}
{ =} {(av_1) \wedge \ldots \wedge v_n
}
{ =} {v_1 \wedge \ldots \wedge (av_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}} {} {}
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{v_1 \wedge \ldots \wedge v_{i-1} \wedge (v +w ) \wedge v_{i+1} \wedge \ldots \wedge v_{n}
}
{ = \! \! \! \!} { \! \! \! v_1 \wedge \ldots \wedge v_{i-1} \wedge v \wedge v_{i+1} \wedge \ldots \wedge v_{n} \, + \, v_1 \wedge \ldots \wedge v_{i-1} \wedge w \wedge v_{i+1} \wedge \ldots \wedge v_{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{v_1 \wedge \ldots \wedge v_{i-1} \wedge av \wedge v_{i+1} \wedge \ldots \wedge v_{n}
}
{ =} {a \cdot v_1 \wedge \ldots \wedge v_{i-1} \wedge v \wedge v_{i+1} \wedge \ldots \wedge v_{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_1 \wedge \ldots \wedge v_{i-1} \wedge v \wedge v_{i+1} \wedge \ldots \wedge v_{j-1} \wedge v \wedge v_{j+1} \wedge \ldots \wedge v_{n}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Man nennt den
\zusatzklammer {in
Konstruktion 79.4
konstruierten} {} {}
$K$-Vektorraum
\mathl{\bigwedge^n V}{} die $n$-te \definitionswort {äußere Potenz}{}
\zusatzklammer {oder das $n$-te \definitionswort {Dachprodukt}{}} {} {}
von $V$. Die Abbildung
\maabbeledisp {} {V^n} { \bigwedge^n V
} {(v_1 , \ldots , v_n)} { v_1 \wedge \ldots \wedge v_n
} {,}
nennt man die \definitionswort {universelle alternierende Abbildung}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Dachprodukt/Elementare Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten für die
\definitionsverweis {äußeren Potenzen}{}{}
folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Die Elemente der Form
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_n}{} mit
\mathl{v_i \in V}{} bilden ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von
\mathl{\bigwedge^n V}{.}
}{Die Abbildung \maabbeledisp {} {V^n} { \bigwedge^n V
} {(v_1 , \ldots , v_n)} { v_1 \wedge \ldots \wedge v_n
} {,}
ist
\definitionsverweis {multilinear}{}{}
und
\definitionsverweis {alternierend}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{v_1 \wedge \ldots \wedge v_{i-1} \wedge v \wedge w \wedge v_{i+2} \wedge \ldots \wedge v_n
}
{ =} {- v_1 \wedge \ldots \wedge v_{i-1} \wedge w \wedge v \wedge v_{i+2} \wedge \ldots \wedge v_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es seien
\mathl{u_1 , \ldots , u_m \in V}{} gegeben und seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_j
}
{ =} { \sum_{i = 1}^m a_{ij} u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mathl{j=1 , \ldots , n}{.} Dann ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{v_1 \wedge \ldots \wedge v_n
}
{ =} { \sum_{ (i_1 , \ldots , i_n) \in \{1 , \ldots , m \}^n } { \left( \prod_{j = 1}^n a_{i_j j} \right) } u_{i_1 } \wedge \ldots \wedge u_{i_n}
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq i_1 < \ldots < i_n \leq m } { \left( \sum_{ \pi \in S_n} \operatorname{sgn}(\pi) \prod_{j = 1}^n a_{i_{\pi (j) } j} \right) } u_{i_1 } \wedge \ldots \wedge u_{i_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1) folgt direkt aus der
Konstruktion.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Es liegt die
\definitionsverweis {zusammengesetzte}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\mathdisp {V^n \longrightarrow H \cong K^{(V^n)} \longrightarrow H/U} { }
vor, wobei
\mathl{(v_1 , \ldots , v_n)}{} auf
\mathl{e_{(v_1 , \ldots , v_n)}}{} und dies auf die Restklasse
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_n}{}abgebildet wird. Dabei sichert die Definition des Unterraums $U$, dass jeweils die Eigenschaften einer multilinearen alternierenden Abbildung erfüllt sind.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3) gilt nach
Fakt *****
für jede
\definitionsverweis {alternierende Abbildung}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(4). Die erste Gleichung gilt nach
Fakt *****
für jede
\definitionsverweis {multilineare Abbildung}{}{.}
Wenn sich in dem Indextupel
\mathl{(i_1 , \ldots , i_n)}{} ein Eintrag wiederholt, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_{i_1 } \wedge \ldots \wedge u_{i_n}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wegen alternierend. Wir müssen also nur noch Tupel betrachten, wo alle Einträge verschieden sind. Diese können nach Umordnen auf die Form
\mathl{1 \leq i_1 < \ldots < i_n \leq m}{} gebracht werden. Bei einem fixierten aufsteigenden Indextupel ist die Summe über alle dazu permutierten Indextupel gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{\pi \in S_n} \prod_{j = 1}^n a_{i_{\pi (j)} j} u_{i_{\pi(1)} } \wedge \ldots \wedge u_{i_{\pi (n)} }
}
{ =} { \sum_{\pi \in S_n} \operatorname{sgn}(\pi) \prod_{j = 1}^n a_{i_{\pi (j)} j} u_{i_1 } \wedge \ldots \wedge u_{i_n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}
{}
\inputfaktbeweis
{Dachprodukt/Transformation des äußersten Dachprodukts/Determinante/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Es seien
\mathkor {} {v_1 , \ldots , v_n} {und} {w_1 , \ldots , w_n} {}
Vektoren in $V$,}
\faktvoraussetzung {die miteinander in der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v_n \end{pmatrix}
}
{ =} { M \begin{pmatrix} w_1 \\\vdots\\ w_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
stehen, wobei $M$ eine
$n\times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
bezeichnet.}
\faktfolgerung {Dann gilt in
\mathl{\bigwedge^n V}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_1 \wedge \ldots \wedge v_n
}
{ =} { ( \det M) w_1 \wedge \ldots \wedge w_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ { \left( b_{jk} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_j
}
{ = }{ \sum_{k= 1}^n b_{j k } w_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit der transponierten Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { M^{ \text{tr} } }
}
{ = }{ (a_{ij})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_j
}
{ = }{ \sum_{ i = 1}^n a_{ij } w_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit sind wir in der Notation von
Lemma 79.6 (4)
und es gilt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ v_1 \wedge \ldots \wedge v_n
}
{ =} {\sum_{ 1 \leq i_1 < \ldots < i_n \leq n } { \left( \sum_{\pi \in S_n} \operatorname{sgn}(\pi) \prod_{j = 1}^n a_{i_{\pi(j)} j} \right) } w_{i_1 } \wedge \ldots \wedge w_{i_n}
}
{ =} { \sum_{\pi \in S_n} \operatorname{sgn}(\pi) \prod_{j = 1}^n a_{ {\pi(j)} j} w_{ 1 } \wedge \ldots \wedge w_{ n}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
da dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i_j
}
{ = }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein muss. Daher folgt die Aussage aus der
Leibniz-Formel
für die
\definitionsverweis {Determinante}{}{.}