Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Anhang E

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Restklassenräume



Lemma  

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und ein Untervektorraum.

Dann ist die durch

definierte Relation eine Äquivalenzrelation auf .

Beweis  

Wir gehen die Bedingungen einer Äquivalenzrelation durch. Die Reflexivität folgt aus , die Symmetrie folgt aus , die Transitivität ergibt sich so: Aus und folgt .


Wir können auf diese Äquivalenzrelation die allgemeinen Ergebnisse aus der zweiten Volesung des ersten Teils anwenden und erhalten eine surjektive Quotientenabbildung (oder Identifizierungsabbildung oder kanonische Projektion)

Statt werden wir schreiben. Das Besondere an dieser Situation ist, dass diese Quotientenmenge selbst ein Vektorraum ist, und dass die kanonische Abbildung linear ist.



Satz  

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und ein Untervektorraum. Es sei die Menge der Äquivalenzklassen (die Quotientenmenge) zu der durch definierten Äquivalenzrelation auf und es sei

die kanonische Projektion.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte -Vektorraumstruktur auf derart, dass eine -lineare Abbildung ist.

Beweis  

Da die kanonische Projektion zu einer linearen Abbildung werden soll, muss die Addition durch

und die Skalarmultiplikation durch

gegeben sein. Insbesondere kann es also nur eine Vektorraumstruktur mit der gewünschten Eigenschaft geben, und wir müssen zeigen, dass durch diese Vorschriften wohldefinierte Operationen auf definiert sind, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten sind. D.h. wir haben für und zu zeigen, dass ist. Nach Voraussetzung können wir und mit schreiben. Damit ist

und dies ist wegen äquivalent zu . Zur Skalarmultiplikation sei wieder

mit . Dann ist

und das ist äquivalent zu . Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf und der Surjektivität der Abbildung folgt, dass eine Vektorraumstruktur vorliegt und dass die Abbildung linear ist.



Definition  

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und ein Untervektorraum. Dann nennt man die Menge der Äquivalenzklassen mit der in Fakt ***** bewiesenen Vektorraumstruktur den Restklassenraum (oder Quotientenraum) von modulo .



Satz  

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei eine lineare Abbildung und eine surjektive lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass

ist.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

derart, dass ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

ist kommutativ.

Beweis  

Für jedes Element gibt es mindestens ein mit . Wegen der Kommutativität muss gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein geben kann. Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Seien also zwei Urbilder von . Dann ist

und daher ist . Die Abbildung ist also wohldefiniert.
Seien und seien Urbilder davon. Dann ist ein Urbild von und daher ist

D.h. ist mit der Addition verträglich.
Sei mit einem Urbild und sei . Dann ist ein Urbild von und daher ist

also ist auch mit der Skalarmultiplikation verträglich.


Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung heißt induzierte lineare Abbildung und entsprechend heißt der Satz auch der Satz über die induzierte Abbildung.



Korollar  

Es sei ein Körper und es sei

eine surjektive lineare Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen.

Dann gibt es eine kanonische lineare Isomorphie

Beweis  

Wir wenden Satz Anhang B.2 auf und die kanonische Projektion an. Dies induziert eine lineare Abbildung

mit , die surjektiv ist. Sei und . Dann ist

also . Damit ist in , d.h. der Kern von ist trivial und nach Fakt ***** ist auch injektiv.




Satz  

Es sei ein Körper und es sei

eine lineare Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

wobei die kanonische Projektion, ein Vektorraum-Isomorphismus und die kanonische Inklusion des Bildraumes in ist.

Beweis  

Dies folgt aus Fakt *****, angewendet aud die surjektive Abbildung


Diese Aussage wird häufig kurz und prägnant so formuliert:

Bild Urbild modulo Kern.


PDF-Version zu diesem Anhang