Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Anhang E

Restklassenräume

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und  ${}U\subseteq V$  ein Untervektorraum.

Dann ist die durch

$v\sim w,{\text{ falls }}v-w\in U,$

definierte Relation eine Äquivalenzrelation auf ${}V$.

Beweis

Wir gehen die Bedingungen einer Äquivalenzrelation durch. Die Reflexivität folgt aus  ${}v-v=0\in U$,  die Symmetrie folgt aus  ${}w-v=-(v-w)\in U$,  die Transitivität ergibt sich so: Aus  ${}u-v\in U$  und  ${}v-w\in U$  folgt  ${}u-w=(u-v)+(v-w)\in U$. 

$\Box$

Wir können auf diese Äquivalenzrelation die allgemeinen Ergebnisse aus der zweiten Volesung des ersten Teils anwenden und erhalten eine surjektive Quotientenabbildung (oder Identifizierungsabbildung oder kanonische Projektion)

$q\colon V\longrightarrow V/\sim ,\,v\longmapsto q(v)=[v].$

Statt ${}V/\sim$ werden wir ${}V/U$ schreiben. Das Besondere an dieser Situation ist, dass diese Quotientenmenge selbst ein Vektorraum ist, und dass die kanonische Abbildung linear ist.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und  ${}U\subseteq V$  ein Untervektorraum. Es sei ${}V/U$ die Menge der Äquivalenzklassen (die Quotientenmenge) zu der durch ${}U$ definierten Äquivalenzrelation auf ${}V$ und es sei

$q\colon V\longrightarrow V/U,\,v\longmapsto [v],$

die kanonische Projektion.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte ${}K$-Vektorraumstruktur auf ${}V/U$ derart, dass ${}q$ eine ${}K$- lineare Abbildung ist.

Beweis

Da die kanonische Projektion zu einer linearen Abbildung werden soll, muss die Addition durch

${}[v]+[w]=[v+w]\,$

und die Skalarmultiplikation durch

${}\lambda [v]=[\lambda v]\,$

gegeben sein. Insbesondere kann es also nur eine Vektorraumstruktur mit der gewünschten Eigenschaft geben, und wir müssen zeigen, dass durch diese Vorschriften wohldefinierte Operationen auf ${}V/U$ definiert sind, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten sind. D.h. wir haben für $[v]=[v']$ und $[w]=[w']$ zu zeigen, dass  ${}[v+w]=[v'+w']$  ist. Nach Voraussetzung können wir $v'=v+u$ und $w'=w+u'$ mit  ${}u,u'\in U$  schreiben. Damit ist

${}v'+w'=v+w+u+u'\,$

und dies ist wegen  ${}u+u'\in U$  äquivalent zu ${}v+w$. Zur Skalarmultiplikation sei wieder  ${}v'=v+u$  mit  ${}u\in U$.  Dann ist

${}\lambda v'=\lambda (v+u)=\lambda v+\lambda u\,,$

und das ist äquivalent zu ${}\lambda v$. Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf ${}V/U$ und der Surjektivität der Abbildung folgt, dass eine Vektorraumstruktur vorliegt und dass die Abbildung linear ist.

$\Box$

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und  ${}U\subseteq V$  ein Untervektorraum. Dann nennt man die Menge ${}V/U$ der Äquivalenzklassen mit der in Fakt ***** bewiesenen Vektorraumstruktur den Restklassenraum (oder Quotientenraum) von ${}V$ modulo ${}U$.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V,Q$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung und ${}\psi \colon V\rightarrow Q$ eine surjektive lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass

${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

ist.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow W$

derart, dass  ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$  ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

${\begin{matrix}V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&W&\\\!\!\!\!\!\,\,\psi \downarrow &\nearrow {\tilde {\varphi }}\!\!\!\!\!&\\Q&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

ist kommutativ.

Beweis

Für jedes Element  ${}u\in Q$  gibt es mindestens ein ${}v\in V$ mit ${}\psi (v)=u$. Wegen der Kommutativität muss  ${}{\tilde {\varphi }}(u)=\varphi (v)$  gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein ${}{\tilde {\varphi }}$ geben kann. Wir müssen zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also  ${}v,v'\in V$  zwei Urbilder von ${}u$. Dann ist

${}v'-v\in \operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

und daher ist  ${}\varphi (v)=\varphi (v')$.  Die Abbildung ist also wohldefiniert.
Es seien  ${}u,u'\in Q$  und seien  ${}v,v'\in V$  Urbilder davon. Dann ist ${}v+v'$ ein Urbild von ${}u+u'$ und daher ist

${}{\tilde {\varphi }}(u+u')=\varphi (v+v')=\varphi (v)+\varphi (v')={\tilde {\varphi }}(u)+{\tilde {\varphi }}(u')\,.$

D.h. ${}{\tilde {\varphi }}$ ist mit der Addition verträglich.
Es sei  ${}u\in Q$  mit einem Urbild  ${}v\in V$  und sei  ${}\lambda \in K$.  Dann ist ${}\lambda v$ ein Urbild von ${}\lambda u$ und daher ist

${}{\tilde {\varphi }}(\lambda u)=\varphi (\lambda v)=\lambda \varphi (v)=\lambda {\tilde {\varphi }}(u)\,,$

also ist ${}{\tilde {\varphi }}$ auch mit der Skalarmultiplikation verträglich.

$\Box$

Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung ${}{\tilde {\varphi }}$ heißt induzierte lineare Abbildung und entsprechend heißt der Satz auch der Satz über die induzierte Abbildung.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine surjektive lineare Abbildung zwischen ${}K$- Vektorräumen.

Dann gibt es eine kanonische lineare Isomorphie

${\tilde {\varphi }}\colon V/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow W.$

Beweis

Wir wenden Satz Anhang B.2 auf  ${}Q=V/\operatorname {kern} \varphi$  und die kanonische Projektion ${}q\colon V\rightarrow V/\operatorname {kern} \varphi$ an. Dies induziert eine lineare Abbildung

${\tilde {\varphi }}\colon V/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow W$

mit  ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ q$,  die surjektiv ist. Sei ${}[x]\in V/\operatorname {kern} \varphi$ und ${}[x]\in \operatorname {kern} {\tilde {\varphi }}$. Dann ist

${}{\tilde {\varphi }}([x])=\varphi (x)=0\,,$

also  ${}x\in \operatorname {kern} \varphi$.  Damit ist  ${}[x]=0$  in ${}V/\operatorname {kern} \varphi$, d.h. der Kern von ${}{\tilde {\varphi }}$ ist trivial und nach Fakt ***** ist ${}{\tilde {\varphi }}$ auch injektiv.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung zwischen ${}K$- Vektorräumen.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

$V{\stackrel {q}{\longrightarrow }}V/\operatorname {kern} \varphi {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \varphi {\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}W,$

wobei ${}q$ die kanonische Projektion, ${}\theta$ ein Vektorraum-Isomorphismus und ${}i$ die kanonische Inklusion des Bildraumes in ${}W$ ist.

Beweis

Dies folgt aus Fakt *****, angewendet auf die surjektive lineare Abbildung

$V\longrightarrow \operatorname {bild} \varphi .$

$\Box$

Diese Aussage wird häufig kurz und prägnant so formuliert:

Bild ${}=$ Urbild modulo Kern.

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