Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Vorlesung 79

Produkte von Mannigfaltigkeiten

Definition

Es seien $M$ und $N$ zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit den Atlanten $(U_{i}, {U_{i}}^{'}, α_{i}, i \in I)$ und $(V_{j}, {V_{j}}^{'}, β_{j}, j \in J)$ . Dann nennt man den Produktraum $M \times N$ mit den Karten

α_{i} \times β_{j} : U_{i} \times V_{j} ⟶ {U_{i}}^{'} \times {V_{j}}^{'}

(mit $(i, j) \in I \times J$ und ${U_{i}}^{'} \times {V_{j}}^{'} \subseteq ℝ^{m} \times ℝ^{n}$ ) das Produkt der Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ .

Es handelt sich dabei in der Tat um eine Mannigfaltigkeit, siehe Aufgabe 79.1. Eine Produktmannigfaltigkeit der Form $M \times ℝ$ nennt man auch Zylinder über $M$ . Zu abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten $M \subseteq ℝ^{ℓ}$ und $N \subseteq ℝ^{k}$ ist die Produktmannigfaltigkeit $M \times N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $ℝ^{ℓ} \times ℝ^{k} = ℝ^{ℓ + k}$ , siehe Aufgabe 79.2.

Lemma

Es seien $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und $M \times N$ ihr Produkt. Dann gelten folgende Eigenschaften.

Die Projektionen
$p_{1} : M \times N ⟶ M, (x, y) ⟼ x,$

und

$p_{2} : M \times N ⟶ N, (x, y) ⟼ y,$

sind differenzierbare Abbildungen.

Der Tangentialraum in einem Punkt $R = (P, Q)$ ist $T_{R} (M \times N) = T_{P} M \times T_{Q} N$ .

Es sei $L$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann ist eine Abbildung
$φ \times ψ : L ⟶ M \times N, u ⟼ (φ (u), ψ (u)),$

genau dann differenzierbar, wenn die Komponentenabbildungen $φ$ und $ψ$ differenzierbar sind.

Beweis

(1). Durch Übergang zu Karten können wir annehmen, dass $M$ und $N$ offene Teilmengen im $ℝ^{m}$ bzw. im $ℝ^{n}$ sind. In diesem Fall handelt es sich um eine Einschränkung der linearen Projektion $ℝ^{m} \times ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ , die nach Proposition 45.3 stetig differenzierbar ist.
(2). Die differenzierbaren Projektionen $p_{1} : M \times N \to M$ und $p_{2} : M \times N \to N$ liefern die linearen Tangentialabbildungen $T_{R} (p_{1}) : T_{R} (M \times N) \to T_{P} M$ und $T_{R} (p_{2}) : T_{R} (M \times N) \to T_{Q} N$ und damit insgesamt die lineare Abbildung

T_{R} (p_{1}) \times T_{R} (p_{2}) : T_{R} (M \times N) ⟶ T_{P} M \times T_{Q} N .

Zum Nachweis der Bijektivität kann man zu Karten übergehen und annehmen, dass $M \subseteq ℝ^{m}$ und $N \subseteq ℝ^{n}$ offene Teilmengen sind. Diese Abbildung wird dann zur Bijektion

p_{1} \times p_{2} : ℝ^{m + n} ⟶ ℝ^{m} \times ℝ^{n} .

(3). Für einen fixierten Punkt $A \in L$ kann man unter Verwendung von Kartenumgebungen von $A$ und von $φ (A)$ und $ψ (A)$ sich darauf zurückziehen, dass alle drei Mannigfaltigkeiten offene Mengen in euklidischen Räumen sind. Wenn beide Abbildungen stetig differenzierbar sind, so folgt nach Aufgabe 45.6 die stetige Differenzierbarkeit der Gesamtabbildung. Die Umkehrung ist klar.

◻

Beispiel

Das Produkt der Kreislinie mit sich selbst, also $M = S^{1} \times S^{1}$ , heißt Torus. Dies ist eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit. Da $S^{1} \subset ℝ^{2}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist, lässt sich der Torus als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im $ℝ^{2} \times ℝ^{2} = ℝ^{4}$ realisieren. Sie lässt sich aber auch als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im $ℝ^{3}$ realisieren. Dazu seien $r$ und $R$ positive reelle Zahlen mit $0 < r < R$ . Dann ist die Menge

{(x, y, z) \in ℝ^{3} ∣ {(\sqrt{x^{2} + y^{2}} - R)}^{2} + z^{2} = r^{2}}

ein Torus. Es handelt sich bei dieser Realisierung um die Oberfläche eines (aufgeblasenen) „Fahrradschlauches“, dessen „Radradius“ gleich $R$ und dessen „Schlauchradius“ gleich $r$ ist (das Rad liegt in der $x - y$ -Ebene). Der Zusammenhang mit dem Produkt $S^{1} \times S^{1}$ ergibt sich, indem man dem Produktwinkel $(φ, ψ)$ den Punkt $((R + r \cos ψ) \cos φ, (R + r \cos ψ) \sin φ, r \sin ψ)$ zuordnet.

Das Dachprodukt

Unsere Zielsetzung für die folgenden Wochen ist es, eine sinnvolle Volumentheorie auf Mannigfaltigkeiten zu entwickeln. Was ist beispielsweise der Flächeninhalt einer gekrümmten Fläche wie der Oberfläche einer Kugel? Jeder Tangentialraum in einem Punkt einer Mannigfaltigkeit ist ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und besitzt daher Borel-Lebesgue-Maße, die allerdings nur bis auf die Multiplikation mit einem Skalar wohlbestimmt sind. Für eine sinnvolle Maßtheorie müssen diese Maße in einer kontrollierbaren Weise von den Punkten der Mannigfaltigkeit abhängen. Dies kann man am besten mit Differentialformen erreichen, die wir schon erwähnt haben und bald studieren werden.

Ihre Konstruktion erleichtert sich wesentlich durch die sogenannten Dachprodukte eines Vektorraumes. Dachprodukte hängen stark mit Determinanten und allgemeiner mit multilinearen alternierenden Formen zusammen. Für die Existenz der Dachprodukte brauchen wir Restklassenräume. Diese beruhen auf einer fundamentalen algebraischen Konstruktion, für die wir auf einen Anhang verweisen.

Wir erinnern an multilineare und alternierende Abbildungen.

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Es sei $n \in ℕ$ und

△ : V^{n} = \underset{n -mal}{\underset{⏟}{V \times \dots \times V}} ⟶ W

eine Abbildung

in einen weiteren

K

-Vektorraum

W

. Man nennt

△

multilinear, wenn für jedes

i \in {1, \dots, n}

und jedes

(n - 1)

-Tupel

(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v_{i + 1}, \dots, v_{n})

die induzierte Abbildung

V ⟶ W, u ⟼ △ (v_{1}, \dots, v_{i - 1}, u, v_{i + 1}, \dots, v_{n}),

linear ist.

Eine multilineare Abbildung $△$ heißt alternierend, wenn Folgendes gilt: Falls in $v = (v_{1}, \dots, v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also $v_{i} = v_{j}$ für ein Paar $i \neq j$ , so ist $△ (v) = 0$ .

Das wichtigste Beispiel ist die Determinante, die eng mit der Volumenmessung zusammenhängt. Für die Maßthorie auf Mannigfaltigkeiten brauchen wir ein Konzept, dass für jeden Punkt eine infinitesimale Volumenform beschreibt, und dafür braucht man in jedem Tangentialraum eine Determinante. Da es allerdings keine Einheitswürfel in den Tangentialräumen gibt, wird es keine eindeutig bestimmte Determinantenfunktion geben, sondern verschiedene Determinantenfunktionen, die sich punktweise um einen Skalar unterscheiden. Ferner möchten wir nicht nur volldimensionalen Objekten ein Volumen zuordnen, sondern auch kleinerdimensionalen Objekten, wofür wir alternierende Formen von kleinerem Grad brauchen. Hier entwickeln wir die dazu benötigte lineare Algebra.

Konstruktion

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und $n \in ℕ$ . Wir konstruieren das sogenannte $n$ -te Dachprodukt von $V$ mit sich selbst, geschrieben $\overset{n}{⋀} V$ . Dazu betrachten wir die Menge $S$ aller Symbole der Form

(v_{1}, \dots, v_{n}) mit v_{i} \in V

und die zugehörige Menge der $e_{(v_{1}, \dots, v_{n})}$ . Wir betrachten den Vektorraum

H = K^{(S)},

das ist die Menge aller (endlichen) Summen

a_{1} e_{s_{1}} + \dots + a_{k} e_{s_{k}} mit a_{i} \in K und s_{i} \in S,

die $e_{s}$ bilden eine Basis. Dies ist mit der natürlichen Addition und der natürlichen Skalarmultiplikation ein Vektorraum, und zwar ein Untervektorraum des Abbildungsraumes $Abb (S, K)$ (es handelt sich bei $H$ um die Menge derjenigen Vektoren, die für fast alle Elemente $s \in S$ den Wert $0$ haben). In $H$ betrachten wir den Untervektorraum $U$ , der von den folgenden Elementen erzeugt wird (die man die Standardrelationen des Dachprodukts nennt).

e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v + w, v_{i + 1}, \dots, v_{n})} - e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v, v_{i + 1}, \dots, v_{n})} - e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, w, v_{i + 1}, \dots, v_{n})}

für beliebige $v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v_{i + 1}, \dots, v_{n}, v, w \in V$ .

e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, a v, v_{i + 1}, \dots, v_{n})} - a e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v, v_{i + 1}, \dots, v_{n})}

für beliebige $v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v_{i + 1}, \dots, v_{n}, v \in V$ und $a \in K$ .

e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v, v_{i + 1}, \dots, v_{j - 1}, v, v_{j + 1}, \dots, v_{n})}

für $i < j$ und beliebige $v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v_{i + 1}, \dots,, v_{j - 1}, v_{j + 1}, \dots, v_{n}, v \in V$ .

Dabei ist der Leitgedanke, die Regeln, die für eine alternierende multilineare Abbildung gelten müssen, dadurch zu erzwingen, dass man die obigen Terme zu $0$ macht. Der erste Typ repräsentiert die Additivität in jedem Argument, die zweite die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation, die dritte die alternierende Eigenschaft.

Man setzt nun

\overset{n}{⋀} V := H / U,

d.h. man bildet den Restklassenraum von $H$ modulo dem Unterraum $U$ .

Die Elemente $e_{(v_{1}, \dots, v_{n})}$ bilden dabei ein Erzeugendensystem von $H$ . Die Restklasse von $e_{(v_{1}, \dots, v_{n})}$ modulo $U$ bezeichnen wir mit^[1]

v_{1} \land \dots \land v_{n} .

Die Erzeuger von $U$ werden dann zu den Rechenregeln^[2]

\begin{matrix} v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land (v + w) \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{n} & = v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land v \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{n} + v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land w \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{n}, \end{matrix}

v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land a v \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{n} = a \cdot v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land v \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{n}

und

v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land v \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{j - 1} \land v \land v_{j + 1} \land \dots \land v_{n} = 0 .

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Man nennt den (in Konstruktion 79.4 konstruierten) $K$ -Vektorraum $\overset{n}{⋀} V$ die $n$ -te äußere Potenz (oder das $n$ -te Dachprodukt) von $V$ . Die Abbildung

V^{n} ⟶ \overset{n}{⋀} V, (v_{1}, \dots, v_{n}) ⟼ v_{1} \land \dots \land v_{n},

nennt man die universelle alternierende Abbildung.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Dann gelten für die äußeren Potenzen folgende Aussagen.

Die Elemente der Form $v_{1} \land \dots \land v_{n}$ mit $v_{i} \in V$ bilden ein Erzeugendensystem von $\overset{n}{⋀} V$ .

Die Abbildung
$V^{n} ⟶ \overset{n}{⋀} V, (v_{1}, \dots, v_{n}) ⟼ v_{1} \land \dots \land v_{n},$

ist multilinear und alternierend.

Es ist
$v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land v \land w \land v_{i + 2} \land \dots \land v_{n} = - v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land w \land v \land v_{i + 2} \land \dots \land v_{n} .$

Es seien $u_{1}, \dots, u_{m} \in V$ gegeben und seien
$v_{j} = \sum_{i = 1}^{m} a_{i j} u_{i}$

für $j = 1, \dots, n$ . Dann ist

$\begin{matrix} v_{1} \land \dots \land v_{n} & = \sum_{(i_{1}, \dots, i_{n}) \in {1, \dots, m}^{n}} (\prod_{j = 1}^{n} a_{i_{j} j}) u_{i_{1}} \land \dots \land u_{i_{n}} \\ = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{n} \leq m} (\sum_{π \in S_{n}} sgn (π) \prod_{j = 1}^{n} a_{i_{π (j)} j}) u_{i_{1}} \land \dots \land u_{i_{n}} . \end{matrix}$

Beweis

(1) folgt direkt aus der Konstruktion.
(2). Es liegt die zusammengesetzte Abbildung

V^{n} ⟶ H ≅ K^{(V^{n})} ⟶ H / U

vor, wobei

(v_{1}, \dots, v_{n})

auf

e_{(v_{1}, \dots, v_{n})}

und dies auf die Restklasse

v_{1} \land \dots \land v_{n}

abgebildet wird. Dabei sichert die Definition des Unterraums

U

, dass jeweils die Eigenschaften einer multilinearen alternierenden Abbildung erfüllt sind.

(3) gilt nach Lemma 16.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) für jede alternierende Abbildung.
(4). Die erste Gleichung gilt nach Lemma 16.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) für jede multilineare Abbildung. Wenn sich in dem Indextupel $(i_{1}, \dots, i_{n})$ ein Eintrag wiederholt, so ist $u_{i_{1}} \land \dots \land u_{i_{n}} = 0$ wegen alternierend. Wir müssen also nur noch Tupel betrachten, wo alle Einträge verschieden sind. Diese können nach Umordnen auf die Form $1 \leq i_{1} < \dots < i_{n} \leq m$ gebracht werden. Bei einem fixierten aufsteigenden Indextupel ist die Summe über alle dazu permutierten Indextupel gleich

\sum_{π \in S_{n}} \prod_{j = 1}^{n} a_{i_{π (j)} j} u_{i_{π (1)}} \land \dots \land u_{i_{π (n)}} = \sum_{π \in S_{n}} sgn (π) \prod_{j = 1}^{n} a_{i_{π (j)} j} u_{i_{1}} \land \dots \land u_{i_{n}} .

◻

Korollar

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum und seien $v_{1}, \dots, v_{n}$ und $w_{1}, \dots, w_{n}$ Vektoren in $V$ , die miteinander in der Beziehung

(\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}) = M (\begin{matrix} w_{1} \\ ⋮ \\ w_{n} \end{matrix})

stehen, wobei $M$ eine $n \times n$ -Matrix bezeichnet.

Dann gilt in $\overset{n}{⋀} V$ die Beziehung

$v_{1} \land \dots \land v_{n} = (det M) w_{1} \land \dots \land w_{n} .$

Beweis

Mit $M = (b_{j k})$ ist $v_{j} = \sum_{k = 1}^{n} b_{j k} w_{k}$ und mit der transponierten Matrix $M^{tr} = (a_{i j})$ ist $v_{j} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} w_{i}$ . Damit sind wir in der Notation von Lemma 79.6 (4) und es gilt

\begin{matrix} v_{1} \land \dots \land v_{n} & = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{n} \leq n} (\sum_{π \in S_{n}} sgn (π) \prod_{j = 1}^{n} a_{i_{π (j)} j}) w_{i_{1}} \land \dots \land w_{i_{n}} \\ = \sum_{π \in S_{n}} sgn (π) \prod_{j = 1}^{n} a_{π (j) j} w_{1} \land \dots \land w_{n}, \end{matrix}

da dann $i_{j} = j$ sein muss. Daher folgt die Aussage aus der Leibniz-Formel für die Determinante.

◻

Fußnoten

↑ Es ist nicht einfach, sich unter den Ausdrücken $v_{1} \land \dots \land v_{n}$ bzw. $\land$ etwas vorzustellen. Wichtiger als die „Bedeutung“ dieser Symbole ist ihr Transformationsverhalten und die Rechenregeln, die dafür gelten. Erst der operative Umgang mit diesen Symbolen lässt die Bedeutung entstehen. Wenn man aber eine ungefähre Vorstellung haben möchte, so kann man sagen, dass $v_{1} \land \dots \land v_{n}$ das von den Vektoren $v_{1}, \dots, v_{n}$ erzeugte „orientierte“ Parallelotop in $V$ repräsentiert. Das Dachprodukt $\overset{n}{⋀} V$ besteht dann aus Linearkombinationen von solchen Parallelotopen.
↑ Es gilt die Klammerungskonvention „Dachprodukt vor Punktrechnung“, d.h. der Ausdruck $a v_{1} \land \dots \land v_{n}$ ist als $a (v_{1} \land \dots \land v_{n})$ zu lesen. Es gelten aber ohnehin die Gleichheiten
$a (v_{1} \land \dots \land v_{n}) = (a v_{1}) \land \dots \land v_{n} = v_{1} \land \dots \land (a v_{n}) .$

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[1] Es ist nicht einfach, sich unter den Ausdrücken $v_{1} \land \dots \land v_{n}$ bzw. $\land$ etwas vorzustellen. Wichtiger als die „Bedeutung“ dieser Symbole ist ihr Transformationsverhalten und die Rechenregeln, die dafür gelten. Erst der operative Umgang mit diesen Symbolen lässt die Bedeutung entstehen. Wenn man aber eine ungefähre Vorstellung haben möchte, so kann man sagen, dass $v_{1} \land \dots \land v_{n}$ das von den Vektoren $v_{1}, \dots, v_{n}$ erzeugte „orientierte“ Parallelotop in $V$ repräsentiert. Das Dachprodukt $\overset{n}{⋀} V$ besteht dann aus Linearkombinationen von solchen Parallelotopen.

[2] Es gilt die Klammerungskonvention „Dachprodukt vor Punktrechnung“, d.h. der Ausdruck $a v_{1} \land \dots \land v_{n}$ ist als $a (v_{1} \land \dots \land v_{n})$ zu lesen. Es gelten aber ohnehin die Gleichheiten
$a (v_{1} \land \dots \land v_{n}) = (a v_{1}) \land \dots \land v_{n} = v_{1} \land \dots \land (a v_{n}) .$

[1]

[2]