Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 10/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Aufgabe 10.1 ändern

Es sei ${}M$ eine endliche Menge mit ${}m$ Elementen und es sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass ${}T$ ebenfalls eine endliche Menge ist, und dass für ihre Anzahl ${}k$ die Abschätzung

${}k\leq m\,$

gilt. Zeige ferner, dass ${}T$ genau dann eine echte Teilmenge ist, wenn

${}k<m\,$

ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine endliche Menge mit ${}m$ Elementen und es sei

$M\longrightarrow N$

eine surjektive Abbildung in eine weitere Menge ${}N$. Zeige, dass dann auch ${}N$ endlich ist, und dass für ihre Anzahl ${}n$ die Abschätzung

${}n\leq m\,$

gilt.

Aufgabe * Aufgabe 10.3 ändern

Seien ${}M$ und ${}N$ endliche Mengen mit ${}n$ Elementen. Zeige, dass für eine Abbildung

$F\colon M\longrightarrow N$

die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv äquivalent sind.

Aufgabe Aufgabe 10.4 ändern

Zeige, dass die Menge der ganzen Zahlen abzählbar ist.

Aufgabe Aufgabe 10.5 ändern

Zeige, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Menge der irrationalen Zahlen überabzählbar ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Nehmen wir an, dass auf der Erde abzählbar unendlich viele Menschen leben würden, und dass jeder Mensch genau einen Euro besitzt. Finde eine „Umverteilungsvorschrift“, die jeden Menschen zu einem Euro-Milliardär macht.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Der Barbier von Sevilla behauptet, dass er genau diejenigen Bürger von Sevilla rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Weise nach, dass er lügt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )$ und die Menge der Abbildungen ${}\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {N} ,{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )\right)}$ gleichmächtig sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Potenzmenge von ${}\mathbb {N}$ gleichmächtig zu ${}\mathbb {R}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir nennen eine reelle Zahl adressierbar, wenn es einen endlichen Text (über einem fixierten endlichen Alphabet, das aus mathematischen oder sonstigen Symbolen besteht) gibt, der diese Zahl eindeutig beschreibt. Ist die Menge dieser Zahlen abzählbar? Was ergibt sich, wenn man das Diagonalargument aus dem Beweis zu Satz 10.13 anwendet?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine abzählbare Menge. Zeige, dass die Menge aller endlichen Teilmengen von ${}M$ abzählbar ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Potenzmenge einer Menge niemals abzählbar unendlich ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Menge der Abbildungen von ${}\mathbb {N}$ nach ${}\mathbb {N}$ die Mächtigkeit des Kontinuums besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe eine Folge rationaler Zahlen derart an, dass jede reelle Zahl ein Häufungspunkt dieser Folge ist.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Familie der Kochschen Schneeflocken, wobei die Grundseite des gleichseitigen Ausgangsdreiecks ${}K_{0}$ das Einheitsintervall sei. Zeige, dass es überabzählbar viele Punkte ${}\alpha \in [0,1]$ gibt, die für jedes ${}K_{n}$ zur Kante gehören.