Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 30/latex

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\setcounter{section}{30}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Bestätige die in Beispiel 30.6, Beispiel 30.7 und Beispiel 30.8 gefundenen Lösungskurven der \definitionsverweis {Differentialgleichungen}{}{}
\mathdisp {y'= { \frac{ 1 }{ y } } ,\, y' = ty^3 \text{ und } y' = -ty^3} { }
durch \definitionsverweis {Ableiten}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Interpretiere eine \definitionsverweis {ortsunabhängige Differentialgleichung}{}{} als eine \definitionsverweis {Differentialgleichung mit getrennten Variablen}{}{} anhand des Lösungsansatzes für getrennte Variablen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen der \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} {y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen der \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= e^y} { , }
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen der \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= { \frac{ 1 }{ \sin y } }} { , }
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Löse die \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'=ty} { }
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung
\mathdisp {y' = { \frac{ t }{ t^2-1 } } y^2} { }
mit \mathkor {} {t>1} {und} {y<0} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Lösungen der \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{} \zusatzklammer {
\mathl{y>0}{}} {} {}
\mathdisp {y'=t^2y^3} { }
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Bestimme eine Lösung der \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= { \frac{ t^3 }{ y^2 } }, \, y > 0, \, t> 0} { , }
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

b) Bestimme die Lösung des \definitionsverweis {Anfangswertproblems}{}{}
\mathdisp {y'= { \frac{ t^3 }{ y^2 } } \text{ mit } y(1)=1} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die in Beispiel 30.9 gefundenen Lösungen
\mathdisp {y(t) = { \frac{ g }{ 1+ \exp (-st) } }} { }
der logistischen Differentialgleichung.

a) Skizziere diese Funktion \zusatzklammer {für geeignete \mathkor {} {s} {und} {g} {}} {} {.}

b) Bestimme die Grenzwerte für \mathkor {} {t \rightarrow \infty} {und} {t \rightarrow - \infty} {.}

c) Studiere das \definitionsverweis {Monotonieverhalten}{}{} dieser Funktionen.

d) Für welche $t$ besitzt die Ableitung von $y(t)$ ein \definitionsverweis {Maximum}{}{} \zusatzklammer {für die Funktion selbst bedeutet dies einen Wendepunkt, man spricht auch von einem \stichwort {Vitalitätsknick} {}} {} {.}

e) Über welche Symmetrien verfügen diese Funktionen?

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{} der Form
\mathdisp {y'= g(t)\cdot y^2} { }
mit einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabbeledisp {g} {\R} {\R } {t} {g(t) } {,} auf einem Intervall $I'$ die Lösungen
\mathdisp {y(t) = - \frac{1}{G(t)}} { }
besitzt, wobei
\mathl{G}{} eine Stammfunktion zu $g$ mit
\mathl{G(I') \subseteq \R_+}{} sei.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme alle Lösungen der \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'=ty^2,\, y> 0} { , }
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme alle Lösungen der \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'=t^3y^3, \, y > 0} { , }
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme alle Lösungen der \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= { \left( \sin t -2t \right) } { \left( y^2+1 \right) } , \, y > 0} { , }
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Welche Lösung hat das Anfangswertproblem $y(0)=\pi$?

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Bestimme alle Lösungen der \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} { ty +t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit

a) dem Lösungsansatz für inhomogene lineare Differentialgleichungen,

b) dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

}
{} {}


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