Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 29

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung


Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung


Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung


Aufgabe

Bestätige durch Nachrechnen, dass die in Beispiel 29.7 gefundenen Funktionen

die Differentialgleichung

erfüllen.


Aufgabe *

Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

für .


Aufgabe

Es sei

eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion und es sei eine differenzierbare Lösung.

a) Zeige, dass ebenfalls unendlich oft differenzierbar ist.

b) Es sei für einen Zeitpunkt . Zeige unter Verwendung von Aufgabe 18.24, dass für alle gilt.


Aufgabe *

Es sei

eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall . Finde eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung, für die eine Lösung ist.


Aufgabe

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung


Aufgabe

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung


Die folgende Aussage nennt man das Superpositionsprinzip für inhomogene lineare Differentialgleichungen. Es besagt insbesondere, dass die Differenz zweier Lösungen einer inhomogenen linearen Differentialgleichung eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung ist.

Aufgabe

Es sei ein reelles Intervall und seien

Funktionen. Es sei eine Lösung der Differentialgleichung und es sei eine Lösung der Differentialgleichung . Zeige, dass dann eine Lösung der Differentialgleichung

ist.


Aufgabe

Finde alle Lösungen der in Beispiel 28.12 betrachteten Differentialgleichung zweiter Ordnung

mit Hilfe von Satz 29.10.


Aufgabe

Petra sitzt im Straßenkaffee bei einer Außentemperatur von Grad. Ihr wird ein Kaffee serviert mit einer Temperatur von Grad, den sie erst in fünf Minuten nach einem wichtigen Telefonat trinken möchte. Sie trinkt ihren Kaffee ohne Zucker, aber mit einem Milchanteil von Prozent. Die Milch wird mit einer Temperatur von Grad in einer Kühlbox serviert, die die Temperatur konstant hält. Der Abkühlungskoeffizient für Kaffee und Milch (siehe Beispiel 29.11) sei .

a) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch sofort in den Kaffee gekippt wird.

b) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch unmittelbar vor dem Trinken in den Kaffee gekippt wird.

c) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch unmittelbar vor dem Trinken in den Kaffee gekippt wird, und die Kühlbox nicht funktioniert.


Aufgabe *

a) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()

b) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()

c) Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe *

a) Finde alle Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

für .

b) Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe *

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

b) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung


Aufgabe (3 Punkte)

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

Welche Lösung hat das Anfangswertproblem ?


Aufgabe (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe (3 Punkte)

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung


Aufgabe (5 Punkte)

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung



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