Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 29

Übungsaufgaben

Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=-{\frac {y}{t}}\,.$

Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'={\frac {y}{t^{2}}}\,.$

Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=e^{t}y\,.$

Aufgabe

Bestätige durch Nachrechnen, dass die in Beispiel 29.7 gefundenen Funktionen

$y(t)=c{\frac {\sqrt {t-1}}{\sqrt {t+1}}}$

die Differentialgleichung

$y'=y/(t^{2}-1)$

erfüllen.

Aufgabe *

Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

${}y'={\frac {y}{t^{2}(t-1)}}\,$

für ${}t>1$.

Aufgabe

Es sei

${}y'=g(t)y\,$

eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion ${}g$ und es sei ${}y$ eine differenzierbare Lösung.

a) Zeige, dass ${}y$ ebenfalls unendlich oft differenzierbar ist.

b) Es sei ${}y(t_{0})=0$ für einen Zeitpunkt ${}t_{0}$. Zeige unter Verwendung von Aufgabe 18.24, dass ${}y^{(n)}(t_{0})=0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. gilt.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$. Finde eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung, für die ${}f$ eine Lösung ist.

Aufgabe

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

${}y'=y+7\,.$

Aufgabe

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

$y'=y+{\frac {\sinh t}{\cosh ^{2}t}}.$

Die folgende Aussage nennt man das Superpositionsprinzip für inhomogene lineare Differentialgleichungen. Es besagt insbesondere, dass die Differenz zweier Lösungen einer inhomogenen linearen Differentialgleichung eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung ist.

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und seien

$g,h_{1},h_{2}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

Funktionen. Es sei ${}y_{1}$ eine Lösung der Differentialgleichung ${}y'=g(t)y+h_{1}(t)$ und es sei ${}y_{2}$ eine Lösung der Differentialgleichung ${}y'=g(t)y+h_{2}(t)$. Zeige, dass dann ${}y_{1}+y_{2}$ eine Lösung der Differentialgleichung

${}y'=g(t)y+h_{1}(t)+h_{2}(t)\,$

ist.

Aufgabe

Finde alle Lösungen der in Beispiel 28.12 betrachteten Differentialgleichung zweiter Ordnung

${}y^{\prime \prime }=-{\frac {\beta }{m}}y'+g\,$

mit Hilfe von Satz 29.10.

Aufgabe

Petra sitzt im Straßenkaffee bei einer Außentemperatur von ${}20$ Grad. Ihr wird ein Kaffee serviert mit einer Temperatur von ${}90$ Grad, den sie erst in fünf Minuten nach einem wichtigen Telefonat trinken möchte. Sie trinkt ihren Kaffee ohne Zucker, aber mit einem Milchanteil von ${}10$ Prozent. Die Milch wird mit einer Temperatur von ${}10$ Grad in einer Kühlbox serviert, die die Temperatur konstant hält. Der Abkühlungskoeffizient für Kaffee und Milch (siehe Beispiel 29.11) sei ${}d={\frac {1}{500}}$, wobei die Zeit in Sekunden aufgefasst werde.

a) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch sofort in den Kaffee gekippt wird.

b) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch unmittelbar vor dem Trinken in den Kaffee gekippt wird.

c) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch unmittelbar vor dem Trinken in den Kaffee gekippt wird, und die Kühlbox nicht funktioniert.

Aufgabe *

a) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ($t\in \mathbb {R} _{+}$)

$y'={\frac {y}{t}}.$

b) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ($t\in \mathbb {R} _{+}$)

$y'={\frac {y}{t}}+t^{7}.$

c) Löse das Anfangswertproblem

$y'={\frac {y}{t}}+t^{7}{\text{ und }}y(1)=5.$

Aufgabe *

a) Finde alle Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

$y'=-{\frac {\sin t}{\cos t}}y+(t^{2}-3)\cos t$

für ${}t\in {]{-{\frac {\pi }{2}}},{\frac {\pi }{2}}[}$.

b) Löse das Anfangswertproblem

$y'=-{\frac {\sin t}{\cos t}}y+(t^{2}-3)\cos t{\text{ mit }}y(0)=7.$

Aufgabe *

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

${}y'={\frac {2t}{t^{2}+1}}y\,.$

b) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

${}y'={\frac {2t}{t^{2}+1}}y+t^{2}\,.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'={\frac {y}{t^{2}-3}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

$y'=(t+2)y+t\exp {\left({\frac {1}{2}}t^{2}+2t\right)}.$

Welche Lösung hat das Anfangswertproblem ${}y(1)=\pi$?

Aufgabe (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y'={\frac {t}{t^{2}+2}}y{\text{ mit }}y(3)=7.$

Aufgabe (3 Punkte)

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

$y'=y+e^{2t}-4e^{-3t}+1.$

Aufgabe (5 Punkte)

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

$y'={\frac {y}{t}}+{\frac {t^{3}-2t+5}{t^{2}-3}}.$