Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesung 80/latex
\setcounter{section}{80}
\zwischenueberschrift{Eigenschaften des Dachprodukts}
Die folgende Aussage beschreibt die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.
\inputfaktbeweis
{Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{n \in \N}{.} Es sei
\maabbdisp {\psi} {V^{ n }} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {alternierende}{}{}
\definitionsverweis {multilineare Abbildung}{}{}
in einen weiteren $K$-Vektorraum $W$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\tilde{\psi}} {\bigwedge^{ n } V} {W
} {}
derart, dass das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}V^{ n } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \bigwedge^{ n } V & \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & W & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
\definitionsverweis {kommutiert}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir verwenden die Notation aus
Konstruktion 79.4. \teilbeweis {}{}{}
{Durch die Zuordnung
\mathdisp {e_{(v_1 , \ldots , v_n)} \longmapsto \psi(v_1 , \ldots , v_n)} { }
wird nach
Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\bar{\psi}} {H} {W
} {}
definiert. Da $\psi$
\definitionsverweis {multilinear}{}{}
und
\definitionsverweis {alternierend}{}{}
ist, wird unter $\bar{\psi}$ der
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mathl{U \subseteq H}{} auf $0$ abgebildet. Nach
Satz 48.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
gibt es daher eine $K$-lineare Abbildung
\maabbdisp {\tilde{\psi}} {H/U} {W
} {,}
die mit $\bar{\psi}$ verträglich ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_n}{} ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von
\mathl{\bigwedge^n V}{} bilden und diese auf
\mathl{\psi (v_1 , \ldots , v_n)}{} abgebildet werden müssen.}
{}
Es bezeichne
\mathl{\operatorname{Alt}^n (V,K)}{} die Menge aller alternierenden Abbildungen von $V^n$ nach $K$. Diese Menge kann man mit einer natürlichen
$K$-\definitionsverweis {Vektorraumstruktur}{}{}
versehen.
\inputfaktbeweis
{Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Alternierende Formen und Linearformen/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{n \in \N}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {natürliche}{}{}
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
\maabbeledisp {} { { \left( \bigwedge^n V \right) }^* } { \operatorname{Alt}^n (V,K)
} {\psi} {((v_1 , \ldots , v_n) \mapsto \psi (v_1 \wedge \ldots \wedge v_n) )
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Abbildung ist einfach die Verknüpfung
\mathl{\psi \mapsto \psi \circ \delta}{,} wobei
\maabb {\delta} {V \times \cdots \times V} { \bigwedge^nV
} {}
die kanonische Abbildung bezeichnet. Die Linearität der Zuordnung ergibt sich aus den linearen Strukturen des
\definitionsverweis {Dualraumes}{}{}
und des
\definitionsverweis {Raumes der alternierenden Formen}{}{.}
Die Bijektivität der Abbildung folgt aus
Satz 80.1,
angewendet auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Dachprodukt/Endlichdimensional/Basis/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{} der Dimension $m$. Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_m}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann bilden die Dachprodukte
\mathdisp {v_{i_1} \wedge \ldots \wedge v_{i_n} \text{ mit } 1 \leq i_1 < \ldots < i_n \leq m} { }
eine Basis von
\mathl{\bigwedge^n V}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {Wir zeigen zuerst, dass ein Erzeugendensystem vorliegt.\leerzeichen{}}{}{}
{ Da die Elemente der Form
\mathl{w_1 \wedge \ldots \wedge w_n}{} nach
Lemma 79.6 (1)
ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von
\mathl{\bigwedge^n V}{} bilden, genügt es zu zeigen, dass man diese durch die angegebenen Elemente darstellen kann. Für jedes $w_j$ gibt es eine Darstellung
\mathl{w_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} v_i}{,} daher kann man nach
Lemma 79.6 (4)
die
\mathl{w_1 \wedge \ldots \wedge w_n}{} als
\definitionsverweis {Linearkombinationen}{}{}
von Dachprodukten der Basiselemente darstellen, wobei allerdings jede Reihenfolge vorkommen kann. Es sei also
\mathl{v_{k_1} \wedge \ldots \wedge v_{k_n}}{} gegeben mit
\mathl{k_j \in \{1 , \ldots , m\}}{.} Durch Vertauschen von benachbarten Vektoren kann man nach
Lemma 79.6 (3)
\zusatzklammer {unter Inkaufnahme eines anderen Vorzeichens} {} {}
erreichen, dass die Indizes
\zusatzklammer {nicht notwendigerweise streng} {} {}
aufsteigend geordnet sind. Wenn sich ein Index wiederholt, so ist nach
Lemma 79.6 (2)
das Dachprodukt $0$. Also wiederholt sich kein Index und diese Dachprodukte sind in der gewünschten Form.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Zum Nachweis der
\definitionsverweis {linearen Unabhängigkeit}{}{}
zeigen wir unter Verwendung von
Lemma 14.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)),
dass es zu jeder $n$-elementigen Teilmenge
\mathl{I=\{i_1 , \ldots , i_n\} \subseteq \{1 , \ldots , m\}}{}
\zusatzklammer {mit \mathlk{i_1 < \ldots < i_n}{}} {} {}
eine $K$-lineare Abbildung
\maabbdisp {} {\bigwedge^n V} {K
} {}
gibt, die
\mathl{v_{i_1} \wedge \ldots \wedge v_{i_n}}{} nicht auf $0$ abbildet, aber alle anderen in Frage stehenden Dachprodukte auf $0$ abbildet. Dazu genügt es nach
Satz 80.1,
eine
\definitionsverweis {alternierende}{}{}
\definitionsverweis {multilineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\triangle} {V^n} {K
} {}
anzugeben mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \triangle { \left( v_{i_1} , \ldots , v_{i_n} \right) }
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
aber mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \triangle { \left( v_{j_1} , \ldots , v_{j_n} \right) }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes andere aufsteigende Indextupel. Es sei $U$ der von den
\mathbed {v_i} {}
{i \neq i_k} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {erzeugte Untervektorraum}{}{}
von $V$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ V/U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Restklassenraum}{}{.}
Dann bilden die Bilder der
\mathbed {v_{i_k}} {}
{k=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
eine Basis von $W$, und die Bilder von allen anderen $n$-Teilmengen der gegebenen Basis bilden dort keine Basis, da mindestens ein Element davon auf $0$ geht. Wir betrachten nun die
\definitionsverweis {zusammengesetzte}{}{}
Abbildung
\mathdisp {\triangle: V^n \longrightarrow W^n \cong (K^n)^n \stackrel{ \det }{ \longrightarrow} K} { . }
Diese Abbildung ist nach
Satz 16.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016))
multilinear und nach
Satz 16.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016))
alternierend. Nach
Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016))
ist
\mathl{\triangle(z_1 , \ldots , z_n) =0}{} genau dann, wenn die Bilder von $z_i$ in $W$ keine Basis bilden.}
{}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{K^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Standardbasis
\mathl{e_1 , \ldots , e_m}{} nennt man die
\mathbed {e_{i_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_n}} {mit}
{i_1 < \ldots < i_n} {}
{} {} {} {}
die \stichwort {Standardbasis} {} von
\mathl{\bigwedge^n K^m}{.}
\inputfaktbeweis
{Dachprodukt/Endlichdimensional/Dimensionsangabe/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{} der Dimension $m$.}
\faktfolgerung {Dann besitzt das $n$-te
\definitionsverweis {äußere Produkt}{}{}
\mathl{\bigwedge^n V}{} die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mathdisp {\binom{m}{n}} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz 80.3 und Aufgabe 3.15.
Insbesondere ist die äußere Potenz für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eindimensional
\zusatzklammer {es ist
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \bigwedge^0 V
}
{ = }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
$m$-dimensional
\zusatzklammer {es ist
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \bigwedge^1 V
}
{ = }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{\bigwedge^m V}{} eindimensional, und die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
induziert
\zusatzklammer {nach einer Identifizierung von $V$ mit $K^m$} {} {}
einen
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {\bigwedge^m V } { K
} {(v_1 , \ldots , v_m) } { \det (v_1 , \ldots , v_m)
} {.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ > }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die äußeren Produkte der Nullraum und besitzen die Dimension $0$.
Wir erweitern die oben gezeigte natürliche Isomorphie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( \bigwedge^n V \right) }^*
}
{ \cong }{ \operatorname{Alt}^n (V,K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einer natürlichen Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigwedge^n V^*
}
{ \cong} { { \left( \bigwedge^n V \right) }^*
}
{ \cong} { \operatorname{Alt}^n (V,K)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Dachprodukt/Natürliche Dualität/Endlichdimensional/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein
\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\mathl{k \in \N}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine natürliche Isomorphie
\maabbdisp {\psi} { \bigwedge^k V^*} {{ \left( \bigwedge^k V \right) }^*
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\psi(f_1 \wedge \ldots \wedge f_k)) (v_1 \wedge \ldots \wedge v_k)
}
{ =} { \det (f_i (v_j))_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit \mathlk{f_i \in V^*}{} und \mathlk{v_j \in V}{}} {} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten die Abbildung
\zusatzklammer {mit $k$ Faktoren} {} {}
\maabbdisp {} { V^* \times \cdots \times V^*} { \operatorname{Abb} \, (V \times \cdots \times V,K)
} {}
mit
\mathdisp {(f_1 , \ldots , f_k) \longmapsto { \left( (v_1 , \ldots , v_k ) \longmapsto \det { \left( f_i (v_j) \right) }_{ij} \right) }} { . }
Für fixierte
\mathl{f_1 , \ldots , f_k}{} ist die Abbildung rechts
\definitionsverweis {multilinear}{}{}
und
\definitionsverweis {alternierend}{}{,}
wie eine direkte Überprüfung unter Verwendung der Determinantenregeln zeigt. Daher entspricht diese nach
Korollar 80.2
einem Element in
\mathl{{ \left( \bigwedge^k V \right) }^*}{.} Insgesamt liegt also eine Abbildung
\maabbdisp {} {V^* \times \cdots \times V^* } { { \left( \bigwedge^k V \right) }^*
} {}
vor. Eine direkte Prüfung zeigt, dass die Gesamtzuordung ebenfalls multilinear und alternierend ist. Aufgrund
der universellen Eigenschaft
gibt es daher eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\psi} {\bigwedge^k V^* } { { \left( \bigwedge^k V \right) }^*
} {.}
Diese müssen wir als Isomorphismus nachweisen. Es sei dazu
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ mit der zugehörigen
\definitionsverweis {Dualbasis}{}{}
\mathl{v_1^* , \ldots , v_n^*}{.} Nach
Satz 80.3
bilden die
\mathbeddisp {v_{i_1}^* \wedge \ldots \wedge v_{i_k}^*} {}
{1 \leq i_1 < \ldots < i_k \leq n} {}
{} {} {} {,}
eine Basis von
\mathl{\bigwedge^k V^*}{.} Ebenso bilden die
\mathbeddisp {v_{i_1} \wedge \ldots \wedge v_{i_k}} {}
{1 \leq i_1 < \ldots < i_k \leq n} {}
{} {} {} {,}
eine Basis von
\mathl{\bigwedge^k V}{} mit zugehöriger Dualbasis
\mathl{{ \left( v_{i_1} \wedge \ldots \wedge v_{i_k} \right) }^*}{.} Wir zeigen, dass
\mathl{v_{i_1}^* \wedge \ldots \wedge v_{i_k}^*}{} unter $\psi$ auf
\mathl{( v_{i_1} \wedge \ldots \wedge v_{i_k} )^*}{} abgebildet wird. Für
\mathl{1 \leq j_1 < \ldots < j_k \leq n}{} ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ { \left( \psi { \left( v_{i_1}^* \wedge \ldots \wedge v_{i_k}^* \right) } \right) } { \left( v_{j_1} \wedge \ldots \wedge v_{j_k} \right) }
}
{ =} { \det { \left( v_{i_r}^* { \left( v_{j_s} \right) }_{1 \leq r, s \leq k} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \{i_1 , \ldots , i_k \}
}
{ \neq }{ \{j_1 , \ldots , j_k \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein $i_r$, das von allen $j_s$ verschieden ist. Daher ist die $r$-te Zeile der Matrix $0$ und somit ist die Determinante $0$. Wenn dagegen die Indexmengen übereinstimmen, so ergibt sich die
\definitionsverweis {Einheitsmatrix}{}{}
mit der Determinante $1$. Diese Wirkungsweise stimmt mit der von
\mathl{{ \left( v_{i_1} \wedge \ldots \wedge v_{i_k} \right) }^*}{} überein.
\zwischenueberschrift{Dachprodukte bei linearen Abbildungen}
\inputfaktbeweis
{Dachprodukt/Kanonische Abbildung zu linearer Abbildung/Existenz/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem
\mathl{n \in \N}{} eine $K$-lineare Abbildung
\maabbdisp {\bigwedge^n \varphi} {\bigwedge^n V} { \bigwedge^n W
} {} mit
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_n \mapsto \varphi(v_1) \wedge \ldots \wedge \varphi(v_n)}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Abbildung
\mathdisp {V^n \stackrel{\varphi \times \cdots \times \varphi}{\longrightarrow} W^n \stackrel{\delta}{\longrightarrow} \bigwedge^n W} { }
ist nach
Aufgabe *****
\definitionsverweis {multilinear}{}{} und
\definitionsverweis {alternierend}{}{.}
Daher gibt es nach
Satz 80.1
eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
\maabbdisp {} {\bigwedge^n V} {\bigwedge^n W
} {}
mit
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_n \mapsto \varphi(v_1) \wedge \ldots \wedge \varphi(v_n)}{.}
\inputfaktbeweis
{Dachprodukt/Kanonische Abbildung zu linearer Abbildung/Eigenschaften/Fakt}
{Proposition}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zu
\mathl{n \in \N}{} sei
\maabbdisp {\bigwedge^n \varphi} {\bigwedge^n V} { \bigwedge^n W
} {} die zugehörige $K$-lineare Abbildung.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Wenn $\varphi$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, dann ist auch
\mathl{\bigwedge^n \varphi}{} surjektiv.
}{Wenn $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, dann ist auch
\mathl{\bigwedge^n \varphi}{} injektiv.
}{Wenn $U$ ein weiterer $K$-Vektorraum und
\maabbdisp {\psi} {U} {V
} {}
eine weitere $K$-lineare Abbildung ist, so gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigwedge^n ( \varphi \circ \psi)
}
{ =} { { \left( \bigwedge^n \varphi \right) } \circ { \left( \bigwedge^n \psi \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1). Es seien
\mathl{w_1 , \ldots , w_n \in W}{} gegeben und seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{} Urbilder davon, also
\mathl{\varphi(v_i)=w_i}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \bigwedge^n \varphi \right) } ( v_1 \wedge \ldots \wedge v_n)
}
{ =} { w_1 \wedge \ldots \wedge w_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 79.6 (1)
ergibt sich die Surjektivität.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Wir können
aufgrund der Konstruktion des Dachproduktes
annehmen, dass
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{}
sind. Die Aussage folgt dann aufgrund der expliziten Beschreibung der Basen in
Satz 80.3.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(3). Es genügt, die Gleichheit für das Erzeugendensystem
\mathl{u_1 \wedge \ldots \wedge u_n}{} mit
\mathl{u_i \in U}{} zu zeigen, wofür es klar ist.}
{}
\inputfaktbeweis
{Dachprodukt/Algebrastruktur/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum
}{}{}
und
\mathl{n,m \in \N}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {multilineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} { { \left( \bigwedge^n V \right) } \times { \left( \bigwedge^m V \right) } } {\bigwedge^{n+m} V
} {}
mit
\mathdisp {(v_1 \wedge \ldots \wedge v_n,w_1 \wedge \ldots \wedge w_m ) \longmapsto v_1 \wedge \ldots \wedge v_n \wedge w_1 \wedge \ldots \wedge w_m} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Da die Dachprodukte
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_n}{} bzw.
\mathl{w_1 \wedge \ldots \wedge w_m}{} jeweils Erzeugendensysteme sind, kann es maximal eine multilineare Abbildung geben, die für die Dachprodukte einfach die Verkettung ist. Für beliebige Linearkombinationen
\mathl{\alpha= \sum_{i \in I} a_i v_{i1} \wedge \ldots \wedge v_{in}}{} und
\mathl{\beta= \sum_{j \in J} b_j w_{j1} \wedge \ldots \wedge w_{jm}}{} muss dann
\zusatzklammer {wegen der geforderten Multilinearität} {} {}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \alpha \wedge \beta
}
{ =} { { \left( \sum_{i \in I} a_i v_{i1} \wedge \ldots \wedge v_{in} \right) } \wedge { \left( \sum_{j \in J} b_j w_{j1} \wedge \ldots \wedge w_{jm} \right) }
}
{ =} {\sum_{(i,j) \in I \times J} a_i b_j v_{i1} \wedge \ldots \wedge v_{in} \wedge w_{j1} \wedge \ldots \wedge w_{jm}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
gelten. Wir müssen zeigen, dass dadurch eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist, d.h. dass die Summe rechts nicht von den für
\mathkor {} {\alpha} {bzw.} {\beta} {}
gewählten Darstellungen abhängt. Es sei also
\mathl{\alpha= \sum_{i \in I} c_i v_{i1} \wedge \ldots \wedge v_{in}}{} eine zweite Darstellung, wobei wir die Indexmenge als gleich annehmen dürfen, da wir fehlende Summanden mit dem Koeffizienten $0$ versehen können. Die Differenz
\mathl{\sum_{i \in I} (a_i-c_i) v_{i1} \wedge \ldots \wedge v_{in}}{} ist dann eine
\zusatzklammer {im Allgemeinen nicht triviale} {} {}
Darstellung der $0$. D.h.
\mathl{\sum_{i \in I} (a_i -c_i) e_{ v_{i1} , \ldots , v_{in} }}{} ist eine Linearkombination aus den in
Konstruktion 79.4
beschriebenen Standardrelationen für das Dachprodukt. Wenn man eine solche Standardrelation der Länge $n$ in jedem Summanden um das Indextupel
\mathl{w_1 , \ldots , w_m}{} erweitert, so erhält man eine Standardrelation der Länge
\mathl{n+m}{.} Dies bedeutet, dass aus einer Darstellung der $0$ bei der Verknüpfung mit einem beliebigen $\beta$ eine Darstellung der $0$ entsteht. Daher ist das Dachprodukt
\mathl{\alpha \wedge \beta}{} unabhängig von der gewählten Darstellung für $\alpha$. Da man die Rollen von
\mathkor {} {\alpha} {und} {\beta} {}
vertauschen kann, ist die Darstellung auch unabhängig von der gewählten Darstellung für $\beta$. Die Multilinearität folgt unmittelbar aus der expliziten Beschreibung.