Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesung 80

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Eigenschaften des Dachprodukts

Die folgende Aussage beschreibt die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.



Satz  

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und . Es sei

eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren -Vektorraum .

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

derart, dass das Diagramm

kommutiert.

Beweis  

Wir verwenden die Notation aus Konstruktion 79.4. Durch die Zuordnung

wird nach Satz 10.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)) eine -lineare Abbildung

definiert. Da multilinear und alternierend ist, wird unter der Untervektorraum auf abgebildet. Nach Satz 48.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)) gibt es daher eine -lineare Abbildung

die mit verträglich ist.
Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die ein Erzeugendensystem von bilden und diese auf abgebildet werden müssen.


Es bezeichne die Menge aller alternierenden Abbildungen von nach . Diese Menge kann man mit einer natürlichen -Vektorraumstruktur versehen.



Korollar  

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und .

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

Beweis  

Die Abbildung ist einfach die Verknüpfung , wobei die kanonische Abbildung bezeichnet. Die Linearität der Zuordnung ergibt sich aus den linearen Strukturen des Dualraumes und des Raumes der alternierenden Formen. Die Bijektivität der Abbildung folgt aus Satz 80.1, angewendet auf .




Satz  

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension . Es sei eine Basis von und es sei .

Dann bilden die Dachprodukte

eine Basis von .

Beweis  

Wir zeigen zuerst, dass ein Erzeugendensystem vorliegt.  Da die Elemente der Form nach Lemma 79.6  (1) ein Erzeugendensystem von bilden, genügt es zu zeigen, dass man diese durch die angegebenen Elemente darstellen kann. Für jedes gibt es eine Darstellung , daher kann man nach Lemma 79.6  (4) die als Linearkombinationen von Dachprodukten der Basiselemente darstellen, wobei allerdings jede Reihenfolge vorkommen kann. Sei also gegeben mit . Durch Vertauschen von benachbarten Vektoren kann man nach Lemma 79.6  (3) (unter Inkaufnahme eines anderen Vorzeichens) erreichen, dass die Indizes (nicht notwendigerweise streng) aufsteigend geordnet sind. Wenn sich ein Index wiederholt, so ist nach Lemma 79.6  (2) das Dachprodukt . Also wiederholt sich kein Index und diese Dachprodukte sind in der gewünschten Form.

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit zeigen wir unter Verwendung von Fakt *****, dass es zu jeder -elementigen Teilmenge (mit ) eine -lineare Abbildung

gibt, die nicht auf abbildet, aber alle anderen in Frage stehenden Dachprodukte auf abbildet. Dazu genügt es nach Satz 80.1, eine alternierende multilineare Abbildung

anzugeben mit , aber mit für jedes andere aufsteigende Indextupel. Es sei der von den , , erzeugte Untervektorraum von und der Restklassenraum. Dann bilden die Bilder der , , eine Basis von , und die Bilder von allen anderen -Teilmengen der gegebenen Basis bilden dort keine Basis, da mindestens ein Element davon auf geht. Wir betrachten nun die zusammengesetzte Abbildung

Diese Abbildung ist nach Satz 16.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)) multilinear und nach Satz 16.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)) alternierend. Nach Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)) ist genau dann, wenn die Bilder von in keine Basis bilden.


Bei mit der Standardbasis nennt man die  mit die Standardbasis von .



Korollar  

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension .

Dann besitzt das -te äußere Produkt die Dimension

Beweis  

Dies folgt direkt aus Satz 80.3 und Aufgabe 3.15.

Insbesondere ist die äußere Potenz für eindimensional (es ist ) und für -dimensional (es ist ). Für ist eindimensional, und die Determinante induziert (nach einer Identifizierung von mit ) einen Isomorphismus

Für sind die äußeren Produkte der Nullraum und besitzen die Dimension .

Wir erweitern die oben gezeigte natürliche Isomorphie zu einer natürlichen Isomorphie



Satz  

Es sei ein Körper und ein -dimensionaler Vektorraum. Es sei .

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

mit

(mit und ).

Beweis  

Wir betrachten die Abbildung (mit Faktoren)

mit

Für fixierte ist die Abbildung rechts multilinear und alternierend, wie eine direkte Überprüfung unter Verwendung der Determinantenregeln zeigt. Daher entspricht diese nach Korollar 80.2 einem Element in . Insgesamt liegt also eine Abbildung

vor. Eine direkte Prüfung zeigt, dass die Gesamtzuordung ebenfalls multilinear und alternierend ist. Aufgrund der universellen Eigenschaft gibt es daher eine lineare Abbildung

Diese müssen wir als Isomorphismus nachweisen. Sei dazu eine Basis von mit der zugehörigen Dualbasis . Nach Satz 80.3 bilden die

eine Basis von . Ebenso bilden die

eine Basis von mit zugehöriger Dualbasis . Wir zeigen, dass unter auf abgebildet wird. Für ist

Bei gibt es ein , das von allen verschieden ist. Daher ist die -te Zeile der Matrix und somit ist die Determinante . Wenn dagegen die Indexmengen übereinstimmen, so ergibt sich die Einheitsmatrix mit der Determinante . Diese Wirkungsweise stimmt mit der von überein.




Dachprodukte bei linearen Abbildungen



Korollar  

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung.

Dann gibt es zu jedem eine -lineare Abbildung

mit .

Beweis  

Die Abbildung

ist nach Aufgabe ***** multilinear und alternierend. Daher gibt es nach Satz 80.1 eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

mit .




Proposition  

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Zu sei

die zugehörige -lineare Abbildung. Dann gelten folgende Eigenschaften.
  1. Wenn surjektiv ist, dann ist auch surjektiv.
  2. Wenn injektiv ist, dann ist auch injektiv.
  3. Wenn ein weiterer -Vektorraum und

    eine weitere -lineare Abbildung ist, so gilt

Beweis  

(1). Seien gegeben und seien Urbilder davon, also . Dann ist

Nach Lemma 79.6  (1) ergibt sich die Surjektivität.
(2). Wir können aufgrund der Konstruktion des Dachproduktes annehmen, dass und endlichdimensional sind. Die Aussage folgt dann aufgrund der expliziten Beschreibung der Basen in Satz 80.3.
(3). Es genügt, die Gleichheit für das Erzeugendensystem mit zu zeigen, wofür es klar ist.



Lemma  

Es sei ein -Vektorraum und .

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte multilineare Abbildung

mit

Beweis  

Da die Dachprodukte bzw. jeweils Erzeugendensysteme sind, kann es maximal eine multilineare Abbildung geben, die für die Dachprodukte einfach die Verkettung ist. Für beliebige Linearkombinationen und muss dann (wegen der geforderten Multilinearität)

gelten. Wir müssen zeigen, dass dadurch eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist, d.h. dass die Summe rechts nicht von den für bzw. gewählten Darstellungen abhängt. Sei also eine zweite Darstellung, wobei wir die Indexmenge als gleich annehmen dürfen, da wir fehlende Summanden mit dem Koeffizienten versehen können. Die Differenz ist dann eine (im Allgemeinen nicht triviale) Darstellung der . D.h. ist eine Linearkombination aus den in Konstruktion 79.4 beschriebenen Standardrelationen für das Dachprodukt. Wenn man eine solche Standardrelation der Länge in jedem Summanden um das Indextupel erweitert, so erhält man eine Standardrelation der Länge . Dies bedeutet, dass aus einer Darstellung der bei der Verknüpfung mit einem beliebigen eine Darstellung der entsteht. Daher ist das Dachprodukt unabhängig von der gewählten Darstellung für . Da man die Rollen von und vertauschen kann, ist die Darstellung auch unabhängig von der gewählten Darstellung für . Die Multilinearität folgt unmittelbar aus der expliziten Beschreibung.



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