Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesung 2

Abbildungen

Ein Hauptgebiet der Mathematik ist es zu untersuchen, wie sich eine gewisse Größe mit einer (oder mehreren) anderen Größe verändert, wie beispielsweise der Flächeninhalt eines Quadrats von der Seitenlänge abhängt, wie der Einkaufspreis von den gekauften Waren abhängt oder wie eine Population mit der Zeit wächst. Solche Abhängigkeiten werden mit dem Begriff Abbildung ausgedrückt.

Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen. Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird. Das zu $x \in L$ eindeutig bestimmte Element wird mit $F (x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

F : L ⟶ M, x ⟼ F (x),

aus.

Bei einer Abbildung $F : L \to M$ heißt $L$ die Definitionsmenge (oder Definitionsbereich) der Abbildung und $M$ die Wertemenge (oder Wertevorrat oder Zielbereich) der Abbildung. Zu einem Element $x \in L$ heißt das Element

F (x) \in M

der Wert von $F$ an der Stelle $x$ . Statt Stelle sagt man auch häufig Argument.

Zwei Abbildungen $F : L_{1} \to M_{1}$ und $G : L_{2} \to M_{2}$ sind gleich, wenn die Definitionsmengen und die Wertemengen übereinstimmen und wenn für alle $x \in L_{1} = L_{2}$ die Gleichheit $F (x) = G (x)$ in $M_{1} = M_{2}$ gilt. Die Gleichheit von Abbildungen wird also zurückgeführt auf die Gleichheit von Elementen in einer Menge. Abbildungen werden häufig auch Funktionen genannt. Wir werden den Begriff Funktion für solche Abbildungen reservieren, deren Wertemenge ein Zahlbereich wie die reellen Zahlen $ℝ$ ist.

Zu jeder Menge $L$ nennt man die Abbildung

L ⟶ L, x ⟼ x,

also die Abbildung, die jedes Element auf sich selbst schickt, die Identität (auf $L$ ). Sie wird mit ${Id}_{L}$ bezeichnet. Zu einer weiteren Menge $M$ und einem fixierten Element $c \in M$ nennt man die Abbildung

L ⟶ M, x ⟼ c,

die also jedem Element $x \in L$ den konstanten Wert $c$ zuordnet, die konstante Abbildung (mit dem Wert $c$ ). Sie wird häufig wieder mit $c$ bezeichnet.^[1]

Für eine Abbildung gibt es mehrere Darstellungsmöglichkeiten, z.B. Wertetabelle, Balkendiagramm, Kuchendiagramm, Pfeildiagramm, den Graphen der Abbildung. Dabei sind die Übergänge zwischen der formalen Definition einer Abbildung und den visuellen Realisierungen fließend. In der Mathematik wird eine Abbildung zumeist durch eine Abbildungsvorschrift beschrieben, die es erlaubt, die Werte der Abbildung zu berechnen. Solche Abbildungsvorschriften sind beispielsweise (jeweils von $ℝ$ nach $ℝ$ ) $x \mapsto x^{2}$ , $x \mapsto x^{3} - e^{x} + \sin (x)$ , etc. In den Naturwissenschaften und Sozialwissenschaften sind empirische Funktionen wichtig, die reale Bewegungen oder Entwicklungen beschreiben, doch auch bei solchen Funktionen erhebt sich die Frage, ob man diese auch mathematisch gut beschreiben (approximieren) kann.

Zu zwei Mengen $L$ und $M$ bezeichnet man die Menge der Abbildungen von $L$ nach $M$ mit

Abb (L, M) = {f : L \to M ∣ f Abbildung} .

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$π (x)$	$2$	$4$	$6$	$5$	$3$	$1$

$\cdot$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$2$	$0$	$2$	$4$	$6$	$1$	$3$	$5$
$3$	$0$	$3$	$6$	$2$	$5$	$1$	$4$
$4$	$0$	$4$	$1$	$5$	$2$	$6$	$3$
$5$	$0$	$5$	$3$	$1$	$6$	$4$	$2$
$6$	$0$	$6$	$5$	$4$	$3$	$2$	$1$

Injektive und surjektive Abbildungen

Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei

F : L ⟶ M, x ⟼ F (x),

eine Abbildung. Dann heißt $F$ injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x, x^{'} \in L$ auch $F (x)$ und $F (x^{'})$ verschieden sind.

Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei

F : L ⟶ M, x ⟼ F (x),

eine Abbildung. Dann heißt $F$ surjektiv, wenn es für jedes $y \in M$ mindestens ein Element $x \in L$ mit

F (x) = y

gibt.

Definition

Es seien $M$ und $L$ Mengen und es sei

F : M ⟶ L, x ⟼ F (x),

eine Abbildung. Dann heißt $F$ bijektiv, wenn $F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Diese Begriffe sind fundamental!

Die Frage, ob eine Abbildung $F : L \to M$ die Eigenschaften injektiv oder surjektiv besitzt, kann man anhand der Gleichung

F (x) = y

(in den beiden Variablen $x$ und $y$ ) erläutern. Die Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem $y \in M$ mindestens eine Lösung

x \in L

für diese Gleichung gibt, die Injektivität bedeutet, dass es zu jedem $y \in M$ maximal eine Lösung $x \in L$ für diese Gleichung gibt, und die Bijektivität bedeutet, dass es zu jedem $y \in M$ genau eine Lösung $x \in L$ für diese Gleichung gibt. Die Surjektivität entspricht also der Existenz von Lösungen, die Injektivität der Eindeutigkeit von Lösungen. Beide Fragestellungen durchziehen die Mathematik und können selbst wiederum häufig als die Surjektivität oder die Injektivität einer geeigneten Abbildung interpretiert werden.

Beim Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen $x$ und $x^{'}$ aus der Voraussetzung $F (x) = F (x^{'})$ erschließt, dass $x = x^{'}$ ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus $x \neq x^{'}$ auf $F (x) \neq F (x^{'})$ zu schließen.

Beispiel

Die Abbildung

ℝ ⟶ ℝ, x ⟼ x^{2},

ist weder injektiv noch surjektiv. Sie ist nicht injektiv, da die verschiedenen Zahlen $2$ und $- 2$ beide auf $4$ abgebildet werden. Sie ist nicht surjektiv, da nur nichtnegative Elemente erreicht werden (eine negative Zahl hat keine reelle Quadratwurzel). Die Abbildung

ℝ_{\geq 0} ⟶ ℝ, x ⟼ x^{2},

ist injektiv, aber nicht surjektiv. Die Injektivität folgt beispielsweise so: Wenn $x \neq y$ ist, so ist eine Zahl größer, sagen wir

x > y \geq 0 .

Doch dann ist auch $x^{2} > y^{2}$ und insbesondere $x^{2} \neq y^{2}$ . Die Abbildung

ℝ ⟶ ℝ_{\geq 0}, x ⟼ x^{2},

ist nicht injektiv, aber surjektiv, da jede nichtnegative reelle Zahl eine Quadratwurzel besitzt. Die Abbildung

ℝ_{\geq 0} ⟶ ℝ_{\geq 0}, x ⟼ x^{2},

ist injektiv und surjektiv.

Definition

Es sei $F : L \to M$ eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

G : M ⟶ L,

die jedes Element $y \in M$ auf das eindeutig bestimmte Element $x \in L$ mit $F (x) = y$ abbildet, die Umkehrabbildung zu $F$ .

Die Umkehrabbildung wird mit $F^{- 1}$ bezeichnet.

Hintereinanderschaltung von Abbildungen

Definition

Es seien $L, M$ und $N$ Mengen und

F : L ⟶ M, x ⟼ F (x),

und

G : M ⟶ N, y ⟼ G (y),

Abbildungen. Dann heißt die Abbildung^[2]

G \circ F : L ⟶ N, x ⟼ G (F (x)),

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen $F$ und $G$ .

Es gilt also

(G \circ F) (x) := G (F (x)),

wobei die linke Seite durch die rechte Seite definiert wird. Wenn die beiden Abbildungen durch funktionale Ausdrücke gegeben sind, so wird die Hintereinanderschaltung dadurch realisiert, dass man den ersten Ausdruck anstelle der Variablen in den zweiten Ausdruck einsetzt (und nach Möglichkeit vereinfacht).

Zu einer bijektiven Abbildung $φ : M \to N$ ist die Umkehrabbildung $φ^{- 1} : N \to M$ durch die beiden Bedingungen

φ \circ φ^{- 1} = {Id}_{N}

und

φ^{- 1} \circ φ = {Id}_{M}

charakterisiert.

Lemma

Es seien $L, M, N$ und $P$ Mengen und es seien

F : L ⟶ M, x ⟼ F (x),

G : M ⟶ N, y ⟼ G (y),

und

H : N ⟶ P, z ⟼ H (z),

Abbildungen.

Dann ist

$H \circ (G \circ F) = (H \circ G) \circ F .$

Beweis

Zwei Abbildungen $α, β : L \to P$ sind genau dann gleich, wenn für jedes $x \in L$ die Gleichheit $α (x) = β (x)$ gilt. Es sei also $x \in L$ . Dann ist

\begin{matrix} (H \circ (G \circ F)) (x) & = H ((G \circ F) (x)) \\ = H (G (F (x))) \\ = (H \circ G) (F (x)) \\ = ((H \circ G) \circ F) (x) . \end{matrix}

◻

Graph, Bild und Urbild einer Abbildung

Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei

F : L ⟶ M

eine Abbildung. Dann nennt man

Γ = Γ_{F} = {(x, F (x)) ∣ x \in L} \subseteq L \times M

den Graphen der Abbildung $F$ .

Ein Graph ist ein mengentheoretisches Konzept. Ob man ihn „graphisch“ veranschaulichen kann, hängt davon ab, ob man die Produktmenge $L \times M$ veranschaulichen kann.

Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei

F : L ⟶ M

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge $S \subseteq L$ heißt

F (S) = {y \in M ∣ es gibt ein x \in S mit F (x) = y}

das Bild von $S$ unter $F$ . Für $S = L$ heißt

F (L) = bild F

das Bild der Abbildung.

Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei

F : L ⟶ M

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge $T \subseteq M$ heißt

F^{- 1} (T) = {x \in L ∣ F (x) \in T}

das Urbild von $T$ unter $F$ . Für eine einelementige Teilmenge $T = {y}$ heißt

F^{- 1} ({y})

das Urbild von $y$ .

Verknüpfungen

Definition

Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung

\circ : M \times M ⟶ M, (x, y) ⟼ \circ (x, y) = x \circ y .

Eine Verknüpfung macht also aus einem Paar

(x, y) \in M \times M

ein einziges Element

x \circ y \in M .

Eine Vielzahl von mathematischen Konstruktionen fällt unter diesen Begriff: Die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation, die Division von Zahlen, die Verknüpfung von Abbildungen, der Durchschnitt oder die Vereinigung von Mengen, etc. Als Verknüpfungssymbol kommt eine ganze Reihe in Frage, z.B. $\circ, \cdot, +, -, \oplus, ♣, ♡$ usw. Je nach dem gewählten Symbol spricht man statt Verknüpfung auch von Multiplikation oder Addition, ohne dass man damit eine inhaltliche Bedeutung verbinden sollte. Wichtige strukturelle Eigenschaften einer Verknüpfung werden in den folgenden Definitionen aufgelistet.

Definition

Eine Verknüpfung

\circ : M \times M ⟶ M, (x, y) ⟼ x \circ y,

auf einer Menge $M$ heißt kommutativ, wenn für alle $x, y \in M$ die Gleichheit

x \circ y = y \circ x

gilt.

Definition

Eine Verknüpfung

\circ : M \times M ⟶ M, (x, y) ⟼ x \circ y,

auf einer Menge $M$ heißt assoziativ, wenn für alle $x, y, z \in M$ die Gleichheit

(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)

gilt.

Definition

Es sei eine Menge $M$ mit einer Verknüpfung

\circ : M \times M ⟶ M, (x, y) ⟼ x \circ y,

gegeben. Dann heißt ein Element $e \in M$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle $x \in M$ die Gleichheit $x \circ e = x = e \circ x$ gilt.

Im kommutativen Fall muss man natürlich für das neutrale Element nur eine Reihenfolge betrachten.

Definition

Es sei eine Menge $M$ mit einer Verknüpfung

\circ : M \times M ⟶ M, (x, y) ⟼ x \circ y,

und einem neutralen Element $e \in M$ gegeben. Dann heißt zu einem Element $x \in M$ ein Element $y \in M$ inverses Element (zu $x$ ), wenn die Gleichheit

x \circ y = e = y \circ x

gilt.

Beispiel

Es sei $L$ eine Menge und

M = Abb (L, L)

die Menge aller Abbildungen von $L$ in sich. Durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen liegt eine Verknüpfung auf $M$ vor, die aufgrund von Lemma 2.8 assoziativ ist. Dagegen ist sie nicht kommutativ. Die Identität auf $L$ ist das neutrale Element. Eine Abbildung $f : L \to L$ besitzt genau dann ein inverses Element, wenn sie bijektiv ist; das inverse Element ist einfach die Umkehrabbildung.

Beginnend mit der nächsten Vorlesung beschäftigen wir uns mit den reellen Zahlen, bei denen es die Addition und die Multiplikation als Verknüpfungen gibt. Erstaunlicherweise erfüllen diese beiden Verknüpfungen (bei der Multiplikation muss man die $0$ herausnehmen) für sich genommen eine wichtige algebraische Struktur: Es handelt sich um Gruppen.

Definition

Eine Menge $G$ mit einem ausgezeichneten Element $e \in G$ und mit einer Verknüpfung

G \times G ⟶ G, (g, h) ⟼ g \circ h,

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle $f, g, h \in G$ gilt
$(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h) .$
Das Element $e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle $g \in G$ gilt
$g \circ e = g = e \circ g .$
Zu jedem $g \in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein $h \in G$ mit
$h \circ g = g \circ h = e .$

Abstrakte Strukturen wie Menge, Abbildung, Verknüpfung, Gruppe führen ein Doppelleben: Einerseits sind sie wirklich nur die gegebene formale Struktur, die Elemente sind nur irgendwelche Elemente einer irgendwie gegebenen Menge, die Verknüpfung ist irgendeine Verknüpfung, unter der man sich nichts Bestimmtes vorstellen soll. Die gewählten Symbole sind willkürlich und ohne Bedeutung. Andererseits erhalten solche abstrakten Strukturen dadurch ihr Leben, dass konkrete mathematische Strukturen darunter subsummiert werden können. Die konkreten Strukturen sind Beispiele oder Modelle für die abstrakte Struktur (und sie sind mathematikhistorisch auch die Motivation, abstraktere Strukturen einzuführen). Beide Ebenen sind wichtig, man sollte sie aber stets auseinanderhalten.

Fußnoten

↑ Von Hilbert stammt die etwas überraschende Aussage, die Kunst der Bezeichnung in der Mathematik besteht darin, unterschiedliche Sachen mit denselben Symbolen zu bezeichnen.
↑ Man beachte, dass in der Bezeichnung die „verkehrte“ Reihenfolge verwendet wird, da ja $F$ zuerst ausgeführt wird. Dies beruht darauf, dass das Argument rechts geschrieben wird.

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[1] Von Hilbert stammt die etwas überraschende Aussage, die Kunst der Bezeichnung in der Mathematik besteht darin, unterschiedliche Sachen mit denselben Symbolen zu bezeichnen.

[2] Man beachte, dass in der Bezeichnung die „verkehrte“ Reihenfolge verwendet wird, da ja $F$ zuerst ausgeführt wird. Dies beruht darauf, dass das Argument rechts geschrieben wird.

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