Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 2

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Untersuche für jedes die Funktion

auf Injektivität und Surjektivität.


Aufgabe

Wie sehen die Graphen der Funktionen aus, die Sie in der Schule kennengelernt haben?


Aufgabe

Woran erkennt man am Graphen einer Abbildung

ob injektiv bzw. surjektiv ist?


Aufgabe

Welche bijektiven Funktionen (oder zwischen Teilmengen von ) kennen Sie aus der Schule? Wie heißen die Umkehrabbildungen?


Aufgabe

Wie kann man sich den Graphen einer Abbildung

und wie sich den Graphen einer Abbildung

vorstellen?


Aufgabe

Eine Funktion

heißt streng wachsend, wenn für alle mit auch gilt. Zeige, dass eine streng wachsende Funktion injektiv ist.


Aufgabe

Man gebe Beispiele für Abbildungen

derart, dass injektiv, aber nicht surjektiv ist, und dass surjektiv, aber nicht injektiv ist.


Aufgabe

Es seien und natürliche Zahlen. Zeige durch Induktion über , dass aus einer Bijektion

folgt, dass ist.


Aufgabe

Wir betrachten die Mengen

und die Abbildungen und , die durch die Wertetabellen

und

gegeben sind.

  1. Erstelle eine Wertetabelle für .
  2. Sind die Abbildungen , , injektiv?
  3. Sind die Abbildungen , , surjektiv?


Aufgabe *

  1. Es sei die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Untersuche die Abbildung

    die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.

  2. Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung ?
  3. Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge aller Einzelkinder und auf die Menge aller Mütter einschränkt?
  4. Seien Sie spitzfindig (evolutionsbiologisch oder religiös) und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist.


Aufgabe

Bestimme die Hintereinanderschaltungen und für die Abbildungen , die durch

definiert sind.


Aufgabe

Der Pferdepfleger hat einen Korb voller Äpfel und geht auf die Weide, um die Äpfel an die Pferde zu verteilen. Danach geht jedes Pferd in seine Lieblingskuhle und macht dort einen großen Pferdeapfel. Modelliere den Vorgang mit geeigneten Mengen und Abbildungen. Man mache sich die Begriffe injektiv und surjektiv an diesem Beispiel klar. Kann die Gesamtabbildung surjektiv sein, wenn es 10 Äpfel, 6 Pferde und 8 Kuhlen gibt?


Aufgabe *

Es seien Mengen und und surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls surjektiv ist.


Aufgabe *

Es seien Mengen und und injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls injektiv ist.


Aufgabe *

Seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.


Aufgabe

Es sei eine Menge von Personen und die Menge der Vornamen von diesen Personen und die Menge der Nachnamen von diesen Personen. Definiere natürliche Abbildungen von nach , nach und nach und untersuche sie in Hinblick auf die relevanten Abbildungsbegriffe.


Aufgabe *

Begründe, ob die Abbildung

injektiv ist oder nicht.


Aufgabe

Sei eine Menge und ihre Potenzmenge. Zeige, dass die Abbildung

bijektiv ist. Wie lautet die Umkehrabbildung?


Aufgabe

Sei eine Menge, die als disjunkte Vereinigung

gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge und der Produktmenge . Wie verhalten sich diese beiden Mengen, wenn und zwar eine Vereinigung von ergeben, aber nicht disjunkt sind, und umgekehrt?


Aufgabe

Sei eine Menge. Stifte eine Bijektion zwischen


Aufgabe

Seien Mengen. Stifte eine Bijektion zwischen

Man mache sich diese Situation für und klar.

Aufgabe

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Es sei

eine Abbildung, die

und erfüllt. Zeige, dass dann die Umkehrabbildung von ist.


Aufgabe

Es seien und Mengen. Zeige, dass die Abbildung

eine bijektive Abbildung zwischen den Produktmengen und festlegt.


Aufgabe

Es sei

eine Abbildung. Zeige, dass das Urbildnehmen

folgende Eigenschaften besitzt (für beliebige Teilmengen ):

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe

Es sei

eine Abbildung. Zeige, dass das Bildnehmen

folgende Eigenschaften besitzt (für beliebige Teilmengen ):

  1. ,
  2. ,
  3. .

Zeige durch Beispiele, dass die beiden Inklusionen in (1) und (3) echt sein können.


Aufgabe

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn das Urbildnehmen

surjektiv ist.


Aufgabe

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn das Urbildnehmen

injektiv ist.


Aufgabe

Betrachte die ganzen Zahlen mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?


Aufgabe

Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung . Zeige, dass es maximal ein neutrales Element für die Verknüpfung gibt.


Aufgabe

Zeige, dass die Verknüpfung auf einer Geraden, die zwei Punkten ihren Mittelpunkt zuordnet, kommutativ, aber nicht assoziativ ist. Gibt es ein neutrales Element?


Aufgabe

Zeige, dass das Potenzieren auf den positiven natürlichen Zahlen, also die Zuordnung

weder kommutativ noch assoziativ ist. Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element?


Aufgabe

Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung darauf, die wir als Produkt schreiben.

  1. Wie viele sinnvollen Klammerungen gibt es für die Verknüpfung von vier Elementen?
  2. Die Verknüpfung sei nun assoziativ. Zeige, dass das Produkt von vier Elementen nicht von irgendeiner Klammerung abhängt.


Aufgabe

Es sei eine Menge und die zugehörige Potenzmenge. Betrachte den Durchschnitt von Teilmengen von als eine Verknüpfung auf . Ist diese Verknüpfung kommutativ, assoziativ, besitzt sie ein neutrales Element?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Hintereinanderschaltungen und für die Abbildungen , die durch

definiert sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Man beschreibe eine Bijektion zwischen und .


Aufgabe (3 Punkte)

Seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn surjektiv ist, so ist auch surjektiv.

Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte auf der Menge die Abbildung

die durch die Wertetabelle

gegeben ist. Berechne , also die -te Hintereinanderschaltung (oder Iteration) von mit sich selbst.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien und Mengen. Wir betrachten die Abbildung

bei der einer Abbildung das Urbildnehmen zugeordnet wird.

a) Zeige, dass injektiv ist.

b) Es sei . Zeige, dass nicht surjektiv ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung darauf, die wir als schreiben. Zeige, dass

für beliebige gilt.



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